Дослідження збіжності рішень для диференціальних рівнянь у частинних похідних, отриманих методом сіток (стр. 1 из 5)

Міністерство освіти і науки України

Сумський державний університет

Кафедра інформатики

Курсова робота

на тему:

«Дослідження збіжності рішень для диференціальних рівнянь у частинних похідних, отриманих методом сіток»

Суми 2006

Вступ

Актуальність теми. Задачі, що відносяться до диференціальних рівнянь у частинних похідних другого порядку, виникають у різних прикладних областях, зокрема в задачах акустики, електродинаміки, динамічної теорії пружності тощо. Найчастіше при їх розв’язуванні використовують метод скінчених різниць(метод сіток). За цим методом вихідну диференціальну задачу у частинних похідних замінюють відповідною різницевою схемою, що є системою скінченої кількості алгебраїчних рівнянь. Тобто для розв’язування неперервної задачі будують дискретну модель, характер поведінки якої описують різницеві рівняння. Очевидно, будь-яка дискретна модель не тотожна вихідній неперервній задачі.

Особливістю наближених методів є те, що кожному рівнянню можна поставити у відповідність велику кількість різницевих апроксимацій, що мають майже однакові характеристики. Тому побудова різницевих схем, властивості яких якнайповніше відповідають вихідній диференціальній задачі, — суть і предмет методу скінчених різниць, а розвиток теорії різницевих схем природно шукають у покращенні порядку апроксимації, а також у зменшенні кількості арифметичних операцій для знаходження розв’язків. Іншими словами, різницева схема повинна якомога краще моделювати властивості вихідного диференціального рівняння, до того ж кількість арифметичних дій, потрібних для знаходження розв’язку, має бути по можливості пропорційна кількості вузлів сітки.

Побудова різницевих схем для рівнянь у частинних похідних з узагальненими розв’язками, швидкість збіжності яких узгоджена з гладкістю цих розв’язків, привертає сьогодні особливу теоретичну увагу. Як зазначається або приймається за очевидне у кожній роботі з чисельних методів, основним питанням для теорії та практики наближених методів є питання точності розв’язку. Дослідження задач з негладкими розв’язками для рівнянь гіперболічного типу потребують особливої уваги через те, що негладкості середовища для таких рівнянь не зникають з часом. Проблема узагальнюється таким чином: як покращити точність наближеного методу, не збільшуючи при цьому паразитичних осциляцій, які з’являються при переході на кожний наступний ярус. Це явище виникає, коли розв’язок негладкий, має розриви та особливі точки (наявні сконцентровані зовнішні сили, точкові джерела тощо). Причина таких осциляцій — дисперсія різницевої схеми по відношенню до диференціальної задачі, тобто відмінність (відставання або випередження) фазової швидкості сіткових гармонік від гармонік диференціальних. Звідси ясно, якою важливою є побудова таких схем для розв’язування гіперболічних рівнянь, де враховані дисперсійні властивості неперервної моделі і, можливо, до мінімуму зведений спотворюючий вплив цих властивостей.

Стан проблеми. Огляд літератури. Проблема існування дисперсії розглядалася багатьма авторами. Першими роботами, у яких було відмічено зв’язок між дисперсією різницевих схем та втратою точності розв’язків рівнянь гіперболічного типу, були роботи К. Роберта, В. Вайса та Дж. Фромма, в яких дисперсія досліджувалася для різних різницевих схем, що апроксимують гіперболічне рівняння першого порядку. Надалі на існування дисперсії для одновимірних рівнянь вказувалося в роботах С. Орзаґа, Р. Чина. М.М. Москальковим показаний зв’язок осциляцій сіткових розв’язків з дисперсією гармонік різницевої схеми для одновимірних гіперболічних рівнянь як першого, так і другого порядку. Різними авторами проводився дисперсійний аналіз для різних задач математичної фізики. Для рівнянь газової динаміки розв’язувалися проблеми зв’язку дисперсії та стійкості різницевих схем. Для спектральних методів розв’язування задач гідродинаміки подібні проблеми ставилися. Огляд робіт, присвячених цьому питанню, можна знайти в роботі Л. Трефетхена, де досліджувалися дисперсійні властивості різницевих схем, що апроксимують двовимірне хвильове рівняння. За допомогою методу диференціальних наближень проблема дисперсії також досліджувалася.

Пропонувалися різні методи боротьби з наслідками дисперсії —паразитичними осциляціями розв’язків гіперболічних рівнянь. Один з них — введення в рівняння так званої штучної в’язкості (див. роботу П.Роуча). Однак цей спосіб не завжди задовільний: втрачається справжній профіль розв’язку та ускладнюються алгоритми, особливо, коли необхідно працювати з великою кількістю вузлів сітки. За іншими методами, що враховують існування дисперсії, пропонується вводити додатковий антидисперсійний ярус, або розглядати не ортогональні сітки як на площині, так і в тривимірному просторі.

В роботах О.С. Макаренка та М.М. Москалькова було вперше доведено, що в двовимірному випадку, виявляється, існує залежність дисперсії різницевої схеми не лише від номера сіткових гармонік, а й від напрямку руху хвилі. Для неявних різницевих схем для двовимірного гіперболічного рівняння було показано, що можна суттєво покращити дисперсію у заданому напрямку руху хвилі за допомогою вибору вагів схеми.

В роботі В.Л. Макарова, С.В. Макарова, М.М. Москалькова було помічено, що у різницевих схем на правильних трикутних сітках дисперсійні властивості кращі за дисперсійні властивості схем на звичайних шаблонах прямокутної сітки. Пояснюється це тим, що існує залежність між виглядом шаблону та дисперсією схеми. Відмічалося, також, що на правильній трикутній сітці можна побудувати схеми четвертого порядку точності для рівняння Пуассона. Вперше подібне покращення апроксимації для не ортогональних сіток розглядав В.І. Лебедев.

Чисельні методи рішення диференціальних рівнянь у частинних похідних 2-го порядку

Загальний вигляд диференціальних рівнянь у часткових похідних 2-го порядку:

(1)

Розв’язком рівняння (1) називається функція u=u(x,y), що перетворює це рівняння на тотожність. Графіком розв’язку є поверхня в просторі Oxyu.

Рівняння (1) називається лінійним, якщо воно першого степеня щодо шуканої функції і всіх її похідних і не містить їхніх добутків, тобто це рівняння може бути записане у вигляді

(2)

У загальному випадку A,B,C,a,b,c - це коефіцієнти, що можуть залежати тільки від х,у. Уводиться визначення дискримінанта:

У залежності від знака дискримінанта D лінійне диференціальне рівняння (2) відноситься до одного з наступних типів:

Якщо D>0, то рівняння еліптичне.

Якщо D=0, то рівняння параболічне.

Якщо D<0, то рівняння гіперболічне.

Якщо D не зберігає знак – рівняння змішаного типу.

Приклади:

рівняння еліптичного типу.

- рівняння параболічного типу.

рівняння гіперболічного типу.

Рівняння вигляду

- називається характеристичним рівнянням. Розв’язки цього рівняння називають характеристиками.

Початкові і крайові умови

Диференціальні рівняння в часткових похідних мають незлічену множину розв’язків, тому для однозначності розв’язку необхідно до вихідного рівняння приєднати додаткові умови. Для диференціальних рівнянь у часткових похідних 2-го порядку вони можуть бути початковими і граничними. По суті, розрізнити ці умови можна лише в тому випадку, коли одна з незалежних змінних диференціального рівняння відіграє роль часу, а інша – роль координати. Тоді якщо умови задані для початкового моменту часу, то це початкові умови, а умови, що відносяться до фіксованих значень координат – граничні або крайові.

Представлення часткових похідних у скінчено-різницевому вигляді

Розглянемо диференціальне рівняння

;

Апроксимуємо часткові похідні відповідними різницями:

.

Аналогічно можна записати

тобто різницю зміщаємо до центра

Формула для змішаної похідної

Ці формули переходу до різницевих схем можна записати, використовуючи позначення:

,

,

.

Скористаємося розкладанням у ряд Тейлора: