Чернівецький національний університет
імені Юрія Федьковича
ЛЕНЮК ОЛЕГ МИХАЙЛОВИЧ
УДК 517.956
ЕВОЛЮЦІЙНІ РІВНЯННЯ З
ПСЕВДО-БЕССЕЛЕВИМИ ОПЕРАТОРАМИ
01.01.02 – диференціальні рівняння
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Чернівці – 2008
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальнiсть теми. Останнi десятилiття інтенсивно розвивається теорiя псевдодиференцiальних операторiв (ПДО), якi формально можна подати у виглядi $F_{\sigma\tox}^{-1}[a(t,x;\sigma)F_{x\to\sigma}]$, $\{x,\sigma\}\subset \mathbb{R}^{n}$, $t>0$, де $a$\,-- функцiя (символ), що задовольняє певнi умови, $F$, $F^{-1}$\,-- пряме та обернене перетворення Фур'є. Iмпульсом для такого розвитку послужив той факт, що ПДО тiсно пов'язанi з важливими задачами аналiзу i сучасної математичної фiзики. Серед нових роздiлiв цiєї теорії особливої уваги заслуговує теорiя рiвнянь з ПДО, побудованими за негладкими однорiдними символами. Випадок однорiдних символiв має важливi застосування в теорiї випадкових процесiв. Теорiя ПДО з негладкими символами тiсно пов'язана також iз сучасною теорією фракталiв.
Дослiдженням ПДО та задачi Кошi для еволюцiйних рiвнянь з ПДО займалось багато математикiв, використовуючи рiзнi методи i пiдходи (M. Nagase, R. Shinkai, C. Tsutsumi, М.А. Шубiн, М. Тейлор, Л. Хермандер, Ю.А. Дубiнський, Б.Й. Пташник та iн.); при цьому одержанi значнi i важливi результати про розв'язнiсть задачi Кошi у рiзних функцiональних просторах.
У теорiї задачi Кошi для параболiчних псевдо диференціальних рiвнянь (ППДР) на теперiшнiй час добре вiдомi результати про будову та оцiнки фундаментальних розв'язкiв задачi Кошi (ФРЗК), за допомогою яких одержанi iнтегральнi зображення розв'язкiв. Якщо символ не залежить вiд $t$, $x$ (тобто $a=a(\sigma)$), то задача Кошi коректно розв'язна в просторi узагальнених функцiй типу розподiлiв; при цьому розв'язок подається у виглядi згортки ФРЗК з початковою умовою, яка є узагальненою функцiєю. Дослiдженi якiснi властивостi розв'язкiв ППДР та систем таких рiвнянь (зокрема, поведiнка розв'язкiв при необмеженому зростаннi часової змiнної, їх невiд'ємнiсть, стiйкiсть за Ляпуновим, теореми типу Лiувiлля).
Цi результати є науковим надбанням ряду вiтчизняних та зарубiжних математикiв, зокрема, С.Д. Ейдельмана, Я.М. Дрiня, М.В. Федорюка, А.Н. Кочубея, В.В. Городецького, В.А. Лiтовченка, Р.Я. Дрiня та iн.
До псевдодиференцiальних рiвнянь формально можна вiднести i сингулярнi еволюцiйнi рiвняння з оператором Бесселя ($B$-параболiчнi рiвняння), який вироджується по певнiй просторовiй змiннiй, а саме рiвняння при цьому вироджується на межi областi, оскiльки оператор Бесселя $B_{\nu}=\frac{d^2}{dx^2}+\frac{2\nu+1}{x}\frac{d}{dx}$, $\nu>-\frac{1}{2}$, можна визначити за допомогою спiввiдношення $B_{\nu}\varphi=-F_{B_{\nu}}^{-1}[\sigma^2F_{B_{\nu}}[\varphi]]$, де $F_{B_{\nu}}$, $F_{ B_{\nu}}^{-1}$\,-- пряме та обернене перетворення Бесселя, $\varphi$\,-- елемент простору, в якому вказане перетворення визначене. Класична теорiя задачi Кошi та крайових задач для сингулярних параболiчних рiвнянь побудована в працях I.А. Кiпрiянова, В.В. Катрахова, М.I. Матiйчука, В.В. Крехiвського, С.Д. Iвасишена, В.П. Лавренчука, I.I. Веренич та iн. Задача Кошi для сингулярних параболiчних рiвнянь у класах розподiлiв та у класах узагальнених функцiй типу $S^{\prime}$ та типу $W^{\prime}$ вивчалась Я.I. Житомирським, В.В. Городецьким, I.В. Житарюком, В.П. Лавренчуком, О.В Мартинюк.
До класу псевдодиференцiальних рiвнянь природно вiднести еволюцiйнi рiвняння з оператором $A=F_{B_{\nu}}^{-1}[a\cdotF_{B_{\nu}}]$, де $a$\,-- однорiдний негладкий у точцi $0$ символ. Для таких рiвнянь задача Кошi не вивчена. Оператор $A$ надалi називатимемо псевдо-Бесселевим оператором. Отже, актуальним є питання про розвиток теорiї задачi Кошi (та двоточкової задачi) для еволюцiйного рiвняння вигляду $$\frac{\partial u(t,x)}{\partial t}+Au(t,x)=0,\hspace{0.3cm}t\in(0,T),\ x\in \mathbb{R}_+, \eqno(1) $$ одержання для таких рiвнянь результатiв, подiбних до вiдомих у теорiї задачi Кошi для параболiчних псевдодиференцiальних рiвнянь зi сталим символом $a=a(\sigma)$ (тобто символом, не залежним вiд $t$, $x$) та початковими умовами, якi є узагальненими функцiями типу розподiлiв. Одним з основних методiв дослiдження задачi Кошi для (1) є метод перетворення Бесселя, тому важливим є питання побудови теорiї такого перетворення вiдповiдних просторiв основних та узагальнених функцiй одночасно з теорiєю задачi Кошi для (1). Властивостi простору основних функцiй iстотно залежать від властивостей символа оператора $A$\,-- функцiї $a$. Якщо позначити цей простiр через $\stackrel{o}{\Phi}$, то $$\stackrel{o}{\Phi}=\left\{\varphi\in C^{\infty}(\mathbb{R})|\forall\alpha\in \mathbb{Z}_+\, \exists c_{\alpha}>0\,:\, |D_x^{\alpha}\varphi(x)|\le c_{\alpha}(1+|x|)^{-(\alpha+\gamma_0)}, \, x\in \mathbb{R}\right\}, $$ де $\gamma_0>0$\,-- фiксований параметр, кожна функцiя з $\stackrel{o}{\Phi}$ є парною.
Дисертацiйна робота присвячена розв'язанню вказаних проблем для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами в класах початкових даних, якi є узагальненими функцiями з простору $(\stackrel{o} {\Phi})^{\prime}$ (простору, топологiчно спряженого до простору основних функцiй $\stackrel{o}{\Phi}$).
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацiя виконана в рамках науково-дослiдних робіт ''Нерегулярні крайові задачі для параболічних рівнянь та рівнянь математичної фізики'' (номер держреєстрацiї 0197U014404) та ''Дослідження коректності сингулярних параболічних крайових задач, задач для псевдодиференціальних операторів нескінченного порядку та їх застосування'' (номер держреєстрацiї 0105U002886) кафедри диференцiальних рiвнянь Чернiвецького нацiонального унiверситету iменi Юрiя Федьковича.
Мета i завдання дослiдження. Метою роботи є розвиток теорії задачi Кошi та двоточкової задачi для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами в класах початкових умов, якi є узагальненими функцiями з простору $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$; одержання для таких рiвнянь результатiв, подiбних до вiдомих у теорiї задачi Кошi для параболiчних псевдодиференцiальних рiвнянь зi сталим символом та початковими умовами, якi є узагальненими функцiями типу розподiлiв. Безпосереднiми основними задачами дослiдження є:
- вивчення властивостей перетворення Бесселя функцiй iз простору $\stackrel{o}{\Phi}$ та оператора узагальненого зсуву аргументу в просторi $\stackrel{o}{\Phi}$;
- дослiдження властивостей перетворення Бесселя узагальнених функцiй з простору $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$, згорток, згортувачiв та мультиплiкаторiв;
- встановлення коректної розв'язностi задачi Кошi для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами у просторi узагальнених функцiй $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$;
- встановлення коректної розв'язностi двоточкової задачi для вказаних рiвнянь у просторi узагальнених функцій $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$.
Наукова новизна одержаних результатiв. Для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами у дисертації вперше одержано такi результати: доведено теореми про перетворення Бесселя простору $\stackrel{o}{\Phi}$, описана топологiчна структура простору, який є образом простору основних функцій $\stackrel{o}{\Phi}$ при перетвореннi Бесселя; доведено, що операцiя узагальненого зсуву аргументу визначена i нескiнченно диференцiйовна у просторi $\stackrel{o}{\Phi}$ (тобто граничнi спiввiдношення вигляду $(T_x^{\xi+\Delta\xi}\varphi-T_x^{\xi}\varphi)(\Delta\xi)^{-1}\to{\frac {\partial}{\partial\xi}}T_x^{\xi}\varphi$, $\Delta\xi\to 0$, справджуються у просторi $\stackrel{o}{\Phi}$; $\varphi\in\stackrel{o}{\Phi}$, $T_x^{\xi}$\,-- оператор узагальненого зсуву аргументу, який вiдповiдає оператору Бесселя); знайдено необхiднi i достатнi умови, якi характеризують клас згортувачiв\,-- узагальнених функцiй iз простору $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$; дослiдженi властивості перетворення Бесселя таких узагальнених функцiй; досліджені властивостi фундаментального розв'язку задачi Кошi (ФРЗК) як абстрактної функцiї часового параметра iз значеннями у просторi $\stackrel{o}{\Phi}$, встановленi оцiнки похiдних ФРЗК, доведена диференцiйовнiсть (по $t$) згортки ФРЗК з довiльною узагальненою функцiєю з простору $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$; вивчена поведiнка вказаних згорток при $t\to +0$ у просторi узагальнених функцiй $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$; встановлено коректну розв'язнiсть задачi Кошi у певному пiдпросторi узагальнених функцiй простору $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$, який збігається з множиною початкових значень гладких розв'язкiв вказаних рiвнянь; при цьому розв'язок має вигляд $u(t,x)=(f*G)(t,x)$, $f\in (\stackrel{o}{\Phi}) ^{\prime}$ ($G$\,-- ФРЗК), $u(t,\cdot)$ при кожному $t\in(0,T)$ належить до простору основних функцій $\stackrel{o}{\Phi}$, але граничне значення $u(t,\cdot)$ при $t\to+0$ iснує вже в просторi узагальнених функцій $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$; доведено, що розв'язок $u$ задачi Кошi володiє властивiстю локалiзацiї, яка полягає в тому, що якщо початкова умова\,-- узагальнена функцiя $f$\,-- в деякiй областi $Q$ збiгається з неперервною функцiєю $g$, то розв'язок $u(t,x)$ вiдповiдної задачi Кошi збiгається до $g(x)$ при $t\to +0$ на довiльному компактi $\K \subset Q$ (тобто, в цьому випадку має мiсце локальне посилення збiжностi); дослiджено властивості фундаментального розв'язку двоточкової задачi для еволюційного рiвняння з псевдо-Бесселевим оператором, встановлено коректну розв'язнiсть цiєї задачi у випадку, коли гранична функцiя є узагальненою функцiєю з простору $(\stackrel{o}{\Phi})^{\prime}$, доведено властивiсть локалiзацiї розв'язку; встановлено коректну розв'язнiсть задачi Кошi для еволюцiйного рiвняння з оператором Бесселя дробового диференцiювання в класi узагальнених початкових умов типу ультрарозподiлiв.
При одержаннi цих результатiв модифiкованi методи теорiї задачiКошi для сингулярних та псевдодиференцiальних параболічнихрiвнянь.
Практичне значення одержаних результатiв. Дослiдження мають теоретичний характер. Їх результати можуть знайти застосування у теорiї параболiчних псевдо диференціальних рiвнянь, теорiї перетворення Бесселя, теорiї узагальнених функцiй.
Особистий внесок здобувача. Основнi результати дисертації одержанi автором самостiйно. У спільних з науковим керівником працях [1,2,3,6,7,10,11] В.В. Городецькому належить постановка задач та аналіз отриманих здобувачем результатів.
Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати досліджень, включені до дисертації, доповідались на: VII Мiжнародній науковій конференцiї iменi академiка М. Кравчука (Київ, 1998р.), Мiжнародній конференції імені Й.П. Шаудера (Львів, 1999 р.), Мiжнародній конференцiї "Диференціальні рівняння та їх застосування", присвяченій 60-річчю кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Київ, 2005 р.), Міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробагатька (Дрогобич, 2007 р.), XIV Всеукраїнській науковій конференції "Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики", присвяченій 90-річчю з дня народження проф. О.М. Костовського (Львів, 2007 р.), IV Міжнародній науково-практичній конференції "Наука: теорія і практика – 2007" (Пшемисль (Польща), 2007 р.), наукових семінарах кафедри диференціальних рівнянь та факультету прикладної математики Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (Чернівці, 2007 р.).