Законы распределения случайных величин. Доверительный интервал
Контрольная работа по дисциплине:
Теория вероятностей и математическая статистика
Законы распределения случайных величин. Доверительный интервал
Задача 1
Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие появится не менее 70 и не более 80 раз.
Решение:
,где
- функция Лапласа, значения которой находятся из таблиц. 
; 
.Здесь:
. 
.Ответ: 0,49.
Задача 2
Среднее число вызовов, поступающих на АТС на 1 минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за 4 минуты поступит: а) 3 вызова; б) не менее 3-х вызовов; в) менее 3-х вызовов. Предполагается, что поток вызовов – простейший.
а) Вероятность события «за 4 минуты поступило 3 вызова равна:
,где
- среднее число вызовов в минуту; 
;t – время, за которое может поступить 3 вызова; t=4 мин.;
k – число возможных вызовов за время t; k=3.
. 
- находим из таблицы значений функции распределения Пуассона для k=3 и a= 
=8.в) События «поступило менее 3-х вызовов» и «поступило не менее 3-х вызовов» являются противоположными. Поэтому найдем сначала вероятность первого события:
.Здесь: вероятности
находятся из таблиц распределения Пуассона соответственно для значений k=0, k=1, k=2 и для a= =8.б) Данное событие является противоположным к событию, описанному в пункте в) (выше), поэтому:
.Ответ: а) 0,03; б) 0,99; в) 0,01.
Задание 3
Случайная величина Х задана функцией распределения (интегральной функцией) f(x). Требуется: а) найти дифференциальную функцию f¢(x) (плотность вероятности); б) найти математическое ожидание и дисперсию Х; в) построить графики функций f(x) и f¢(x).
Решение:
а)
- плотность вероятности.б) Математическое ожидание:
.Дисперсия величины Х:
в) График функции f(x):
| х |  | 1 | 2 |
| f(х) |  |  | 1 |
; 
; 
.График функции
| х | 1 | 2 |
| f¢(х) | | 1 |
; 
.Задание 4
Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания Q нормального распределения с надежностью
, зная выборочную среднюю 
, объем выборки n и среднее квадратическое отклонение s. 
; 
; n=225.Решение:
.Здесь:
находится из таблицы распределения Стьюдента для n=225 и . 
. 
; 
.Ответ: (73,12; 77,04).