Измеримые множества (стр. 2 из 6)

Пусть m_n>Q, но m_n-1£Q, т.е. процесс заканчивается после n-го шага.

Тогда интервалы (l_1,m₁), ( l₂,m₂), … , (l_n,m_n) и составляют систему H. При этом l_k+1<m_k(k = 1, 2, … , n-1).

Значит

а так как m_n- l₁ > Q – P, то Q – P<

, откуда и подавно

Q – P<

.

Лемма 3. Пусть интервал D есть сумма конечного или счетного множества открытых множеств

D =

.

Тогда

mD

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть D = (A, B) и пусть составляющие интервалы множества G_k суть d_i^(k) (i = 1, 2, …).

Возьмем положительное число e (0 < e <

) и рассмотрим сегмент , содержащийся в интервале D.

Этот сегмент покрыт системой интервалов d_i^(k) (i = 1, 2, …; k = 1, 2, …). Применяя к этой системе теорему Бореля о конечном покрытии из § 2, гл. II, мы получим некоторую конечную систему

(s = 1, 2, … n),

покрывающую сегмент

. В силу предыдущей леммы, , откуда и подавно

B – A - 2e <

.

Так как число e произвольно мало, то

B – A

,

и лемма доказана.

Теорема 3.Если открытое ограниченное множествоG является суммой конечного числа или счетного множества открытых множествG_k, G =

, то

mG

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть D_i (i = 1, 2, …) суть составляющие интервалы суммы G. Тогда mG =

.

Но

откуда, в силу леммы 3, и, стало быть,

(*)

С другой стороны

При этом (что является здесь основным) отдельные слагаемые правой части взаимно не пересекаются (потому что

при i¹i`). Значит, мы находимся в условиях применимости теоремы 2, а потому

(**)

Сопоставляя (*) и (**), мы и получаем теорему.

Мера ограниченного замкнутого множества

Пусть F непустое ограниченное замкнутое множество и S наименьший сегмент, содержащий множество F. Как известно, множество C_SF открыто и поэтому имеет определенную меру

m[C_SF]. Это дает возможность установить следующее определение.

Определение 1. Мерой непустого ограниченного замкнутого множества F называется число

где S=[A, B] есть наименьший сегмент, содержащий множество F.

Для пустого замкнутого множества меру определять не нужно, ибо такое множество открыто и мерой его мы уже условились считать число 0. Кроме того, непустое замкнутое ограниченное множество не может оказаться открытым множеством, так что нет надобности ставить вопрос о связи определений меры открытого и замкнутого множества.

Рассмотрим некоторые примеры.

1. F=[a, b]. В этом случае, очевидно, S=[a, b] и C_sF=0, так, что m [a, b] = b – a, т. е. мера сегмента равна его длине.

2. F есть сумма конечного числа попарно не пересекающихся сегментов

Можно считать, что сегменты перенумерованы в порядке возрастания левых концов; тогда, очевидно,

(k=1, 2, … n-1),

откуда следует, что

Стало быть,

т.е. мера суммы конечного числа попарно не пересекающихся сегментов равна сумме длин этих сегментов.

3. Пусть

(Канторово совершенное множество). В этом случае

и откуда

т.е. Канторово совершенное множество

имеет меру нуль. Этот факт интересно сопоставить с тем, что мощность множества

есть с.

Теорема 1.Мера ограниченного замкнутого множества F не отрицательна.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если пользоваться обозначениями определения 1, то очевидно

Ì (А, В), и по теореме 1, откуда и следует, что

Лемма. Пусть F ограниченное замкнутое множество, содержащееся в интервале D, тогда

D- [ C_DF]

Д о к а з а т е л ь с т в о. Множество C_DF – открыто, так что лемма имеет смысл. Пусть D=(A, B), а наименьший сегмент, содержащий множество F, есть S=[a, b] (рис.1.).

Тогда легко видеть, что С_DF=C_DS+C_sF.

Рис. 1

Оба слагаемые правой части открыты и взаимно не налегают. Значит, по свойству аддитивности меры (теорема 2) будет m[C_DF]=m[C_DS]+m[C_sF].

Но, очевидно,C_DS = (A, a) + (b, B), откуда

m[C_D] = (a-A) + (B-b),

и следовательно,

m[C_DF]=(B-A)-(b-a)+m[C_sF],

что и доказывает лемму.

Теорема 2.Пусть F₁ и F₂ два ограниченных замкнутых множества. Если F₁ÌF₂, то mF₁£ mF₂.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть D есть интервал, содержащий множество F₂. Тогда легко проверить, что С_DF₁ É C_DF₂, и, стало быть, m[C_DF₁ ]

[ C_DF₂ ], так что дело сводиться к предыдущей лемме.

Следствие. Мера ограниченного замкнутого множества F есть точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств, содержащихся в F.

Теорема 3. Пусть F замкнутое множество, а G открытое ограниченное множество. Если FÌG, то mF

mG.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть D есть интервал, содержащий множество G. Легко видеть, что D= G+C_DF, откуда, в силу теоремы 3, получаем, что mD

mG + m[C_DF], и дело сводится к лемме.

Теорема 4. Мера открытого ограниченного множества G есть точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств, содержащихся в G.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу предыдущей теоремы, mG есть точная граница мер замкнутых множеств FÌG, и надо доказать, что меры этих замкнутых множеств могут быть сколь угодно близки к mG.

Пусть составляющие интервалы множеств G суть(l_k, m_k) (k=1, 2, …), так что mG =

(m_k - l_k).

Возьмем произвольное e> 0 и найдем столь большое натуральное n, чтобы оказалось

m_k- l_k)> mG -

.

Затем для каждого k (k=1, 2, …, n) найдем такой сегмент

[a_k, b_k], чтобы было

[a_k b_k,] Ì (l_k, m_k), m[a_k, b_k] >m(l_k, m_k) -

,