Так как R1ÉR2ÉR3É..., то (теорема 12)
mRi®mQ
C другой стороны, очевидно, что
так что mRi®0 и, стало быть, mQ=0.Остается проверить, что соотношение (**) имеет место для всех x из множества E - Q.
Пусть x0ÎE - Q. Тогда x0 Rio. Иначе говоря, при k³i0
x0
E(|fnk-f|³sk),и, следовательно,
|fnk(x0) – f(x0)|<sk, (k³i0)
и, поскольку sk®0, ясно, что fnk(x0) ®f(x0).
Теорема доказана.
Теорема Лебега дала повод к установлению понятия сходимости по мере. С другой стороны, с помощью этой же теоремы можно установить весьма важную теорему Д.Ф.Егорова.
Теорема 5 (Д.Ф.Егоров).Пусть на измеримом множестве Е задана последовательность измеримых и почти везде конечных функцийf1(x),f2(x),f3(x), …, почти везде сходящаяся к измеримой и почти везде конечной функции f (x):
В таком случае, для любого d>0 существует такое измеримое множество Еd Е, что:
1) mEs >mE- d;
2) на множестве Edстремление(*) происходит равномерно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. При доказательстве теоремы Лебега было установлено, что при любом s >0 будет
(1)
где
.h1+h2+h3+... (hi>0)
и стремящуюся к нулю последовательность положительных чисел
s1>s2>s3>…, lim si=0.
В силу (1), можно каждому натуральному i соотнести такое натуральное ni, что mRni(si)< hi.
Сделав это, найдем такое i0, что
(где d число, фигурирующее в формулировке теоремы), и положим .Очевидно,
me<d.
Пусть Еd = Е – е. Установим, что множество Еdтребуемое. Неравенство mEd> mE - d ясно, так что остается убедиться в равномерности стремления
fn(x)®f(x)
на множестве Еd.
Пусть e > 0. Найдем i такое, что i³i0, si < e, и покажем, что при k³ ni и при всех xÎ Еdбудет
|fk(x) – f(x)| < e,
откуда и будет следовать теорема.
Если xÎ Еd, то х
e. Значит в частности, x Rni(si).Иначе говоря, при k³ ni
xÎE(|fk – f|³ si),
так что
|fk(x) – f(x)| <si (k³ ni)
и тем более
|fk(x) – f(x)| < e (k³ ni).
Структура измеримых функций
При изучении какой-нибудь функции сам собою встает вопрос о точном или приближенном представлении ее с помощью функций более простой природы.
Таковы, например, алгебраические вопросы о разложении многочлена на множители или рациональные дроби на простейшие. Таков же вопрос о разложении непрерывной функции в степенной или тригонометрический ряд и т.п.
В этой части мы устанавливаем различные теоремы о приближении измеримых функций функциями непрерывными, т.е. решаем сходный вопрос для измеримых функций. Эти теоремы позволяют нам найти основное структурное свойство измеримой функции выражаемой теоремой 4.
Теорема 1. Пусть на множестве Е задана измеримая, почти везде конечная функция f(x). Каково бы ни было e > 0, существует измеримая ограниченная функция g(x), такая, что mE(f¹g)< e.
Аk = E(|f|>k), Q = E(|f| = + ¥).
По условию, mQ = 0. Ввиду очевидных соотношений
А1É А2É А3É …,
будет (теорема 12) при k®¥
mAk®mQ = 0.
Значит, найдется такое k0, что mAk0<e.
Определим на множестве E функцию g(x), полагая
Эта функция измерима и, кроме того, ограничена, поскольку g (x)êk0. Наконец, E(f¹g) = Ako, что и доказывает теорему.
Доказанная теорема означает, что всякая измеримая и почти везде конечная функция становится ограниченной, если пренебречь множеством сколь угодно малой меры.
Определение. Пусть функция F(x) задана на множестве E и x0ÎE, причем F(x0) ¹±¥. Говорят, что функция F(x) непрерывна в точке х0 в двух случаях: 1) если х0 есть изолированная точка E; 2) если х0Î E¢ и соотношения xn®x0, xnÎE влекут соотношение
f(xn) ®f(x0).
Если f(x) непрерывна в каждой точке множества E, то говорят, что она непрерывна на этом множестве.
Лемма 1.Пусть множества F1, F2, …, Fn замкнутыи попарно не пересекаются. Если функция j (х),заданная на множестве
постоянна на каждом из множеств Fk, то она непрерывна на множестве F.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x0ÎF’ и xi®x0, xiÎF.
В силу замкнутости множества F точка x0 принадлежит этому множеству и, стало быть, найдется такое m, что x0ÎFm.
Но множества Fk попарно не пересекаются. Значит, если k¹m, то х0
Fk и, в силу замкнутости множества Fk, точка x0 не является и предельной точкой этого множества.Отсюда следует, что в последовательности {xi} может быть только конечное число точек, принадлежащих множеству Fk при k¹m. Отметим все члены последовательности, которые входят в одно из множеств F1, …, Fm-1, Fm+1, …, Fn, и пусть xi0, последний из них. Тогда при i > i0 необходимо будет x1ÎFm, т.е. при i > i0 оказывается j (xi) = j (x0), а это доказывает лемму.
Лемма 2. Пусть F есть замкнутое множество, содержащееся в сегменте [a, b]. Если функция j(x) задана и непрерывна на множестве F, то можно определить на [a, b] функцию y(x) со следующими свойствами
1) y(x) непрерывна;
2) если xÎF, то y(x)= j(x);
3) max |y(x)| = max |j(x)|.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через [a, b] наименьший сегмент, содержащий множество F. Если бы требуемая функция y(x) была уже построена на сегменте [a, b], то достаточно было бы дополнить ее определение, полагая
чтобы получить требуемую функцию уже на всем сегменте [a, b].
Поэтому, не ограничивая общности, можно считать что [a, b] и есть наименьший сегмент, содержащий множество F.
Если F = [a, b], то теорема тривиальна. Будем считать, что F¹ [a, b]. Тогда множество [a, b] – F состоит из конечного или счетного множества взаимно не налегающих интервалов, концы которых принадлежат F (дополнительных интервалов множества F).
Зададим функцию y(x), полагая ее равной j(x) в точках множества F и линейной на всех дополнительных интервалах.
Убедимся в непрерывности этой функции. Непрерывность ее в каждой точке множества [a, b] – F очевидна.
Пусть х0 есть точка множества F . Мы покажем, что функция y(x) непрерывна в этой точке слева (непрерывность справа устанавливается совершенно аналогично).
Если точка х0 служит правым концом какого-нибудь дополнительного интервала, то непрерывность функции y(x) в этой точке слева очевидна.
Пусть же x0 не является правым концом никакого дополнительного интервала и пусть x1< x2< x3<… последовательность точек, стремящихся к x0.
Если xnÎF (n = 1, 2, 3, …) то, используя непрерывность на множестве F функции j(x), имеем y(xn) = j(xn) ® j(x0) =y(x0). Поэтому можно считать, что хn
F (n = 1, 2, 3, …).В таком случае точка x1 попадает в какой-то дополнительный интервал (l1, m1), причем m1<х0. Продолжая это рассуждение, мы приходим к последовательности (l1, m1), (l2, m2), (l3, m3), … дополнительных интервалов, расположенных в порядке номеров слева направо и таких, что