Изучение матриц (стр. 2 из 3)
а
б в
Рис. 2.
11. Напишите формулу разложения вектора по трем взаимно перпендикулярным осям координат
12. Как определяется вектор через координаты его начала и конца?
Пусть известны координаты начала вектора А(x1, y1, z1) и его конца В(x2, y2, z2). Точки А и В определяют радиус вектора
и 
. 
, отсюда 
.
, т.е. 
| Координаты вектора | X | -2 |
| Y | 4 | |
| Z | 7 |
A(-2, 4, 7) означает, что абсцисса точки Ax=-2, ордината у=4, аппликата z=7.
15. Чему равно скалярное произведение векторов 
и 
? Данные для варианта взять из таблицы 2.3
Координаты вектора  | X | -2 |
| Y | 4 | |
| Z | 7 | |
Координаты вектора  | X | 3 |
| Y | 6 | |
| Z | 4 |
Т.к. векторы заданы в координатной форме, то по формуле
имеем:
16. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых l1 и l2 и отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный d
| Уравнение прямой l1 | Уравнение прямой l2 | d | Координаты точки Р | |
| x | y | |||
| 3x‑2y‑7=0 | x+3y‑6=0 | 3 | 2 | 5 |
Отсюда находим х = 6 – 3у
x = 3
Значит точка пересечения двух прямых A(3; 1)
По условия отрезок равен 3, значит координата точки B(3; 0).
Найдем уравнение прямой, проходящей через точки А и В.
Здесь знаменатель равен нулю. Полагаем числитель левой части равным нулю.
Получаем
17. Найти уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок, равный d и проходящей параллельно прямой l1
| Уравнение прямой l1 | Уравнение прямой l2 | d | Координаты точки Р | |
| x | y | |||
| 3x‑2y‑7=0 | x+3y‑6=0 | 3 | 2 | 5 |
Найдем две точки прямой 3x‑2y‑7=0
Подставим в уравнение х=1 и х=3 и получим значения у соответственно -2 и 1.
A (1; – 2) и B (3; 1).
Координаты направляющего вектора
найдём по координатам конца и начала вектора 
Подставляя в формулу
координаты точки O (0; 3) и координаты вектора 
получим искомое уравнение прямой 
или 
.18. Как определяются горизонтальные асимптоты функции?
В случае если наклонная асимптота расположена горизонтально, то есть при
, она называется горизонтальной асимптотой. Таким образом, горизонтальная асимптота – частный случай наклонной асимптоты; прямая y = с = constявляется горизонтальной асимптотой графика y = f(x) при 
или 
, если 
или
соответственно.
19. Что такое частное приращение функции нескольких переменных?
Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двух переменных
в точке 
частные производные определяются так: 
, 
,если эти пределы существуют.
Из определения следует геометрический смысл частной производной функции двух переменных: частная производная
– угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности и плоскости 
в соответствующей точке.20. Каковы выражения для частных дифференциалов функции z=f (x, y)?
Частной производной по x функции z = f(x, y) в точке M0(x0, y0) называется предел
,если этот предел существует. Обозначается эта частная производная любым из следующих символов:
; 
; 
.Частная производная по x есть обычная производная от функции z = f (x, y), рассматриваемой как функция только от переменной x при фиксированном значении переменной y.
Совершенно аналогично можно определить частную производную по yфункции z = f (x, y) в точке M0(x0, y0):
= 
.Приведем примеры вычисления частных производных