Инвариантность стационарного распределения трехузловой сети массового обслуживания (стр. 2 из 4)

Определение 4. Поток заявок называется ординарным, если для

, где вероятность поступления двух или более заявок в промежутке .

Определение 5. Простейшим потоком называется стационарный ординарный поток без последействия.

Определение 6. Стационарный поток, для которого вероятность поступления k заявок за время t равна:

(k=0,1,2,…; l>0),

называется простейшим или пуассоновским потоком с параметром l.

В силу (1) среднее число заявок, поступающих за время t, равно lt. Значит l - среднее число заявок, поступающих в единицу времени. Поэтому l называют интенсивностью пуассоновского потока.

1.3 Время обслуживания

Рассмотрим работу обслуживающего прибора (канала, линии). В общем случае длительности обслуживания заявок представляют из себя неотрицательные величины.

предполагают статистически независимой от поступающего на прибор потока заявок.

Определение 1. Говорят, что обслуживание задано, если для любого

Определение 2. Обслуживание называется рекуррентным, если

Определение 3. Рекуррентное обслуживание с

(показательным) обслуживанием с параметром m. Если

Т. е. время обслуживания любой заявки неслучайно (и равно bединиц времени), то обслуживание называют детерминированным или регулярным.

1.4 Классификация систем массового обслуживания

Классификация систем массового обслуживания чаще всего производят по следующим признакам:

входящий поток заявок;

совместное распределение времен обслуживания заявок;

число обслуживающих приборов (каналов, линий);

дисциплина обслуживания, организация очереди и процесса обслуживания.

Существуют следующие типы систем. В системах с потерями заявки, которые при поступлении не находят ни одного свободного прибора, теряются. Для систем с ожиданием возможно ожидание любого числа требований, которые не могут быть обслужены сразу. Для систем с ограниченным числом мест для ожидания ожидать может только число заявок, меньше некоторого фиксированного числа N+1. Если заявка поступающая в систему, застает очередь из N заявок, она теряется для системы. Для заявок, стоящих в очереди к обслуживающим приборам, с помощью некоторой дисциплины обслуживания определяется, в каком порядке ожидающие заявки выбираются из очереди на обслуживание. Важнейшими дисциплинами обслуживания являются:

FIFO (first in - first out)  заявки обслуживаются в порядке поступления;

LIFO (last in - first out)  инверсионный порядок обслуживания, при котором в первую очередь обслуживается заявка, поступившая последней;

SIRO (service in random order)  очередная заявка выбирается наудачу.

Для обозначения простых процессов обслуживания используются обозначения, предложенные Кендалом:

А/B/n/N.

Буква А характеризует поток требований: например, А=М - пуассоновский поток. Буква B характеризует случайные последовательности длительностей обслуживания на отдельных приборах: B=M - экспоненциальное обслуживание (с одинаковой интенсивностью для разных приборов). Буква n означает количество обслуживающих приборов, буква N - количество мест для ожидания заявок в очереди.

1.5 Марковские системы массового обслуживания

К марковским системам относятся системы, поведение которых в момент времени t может быть описано марковским процессом

. В частности, сюда относятся все системы вида M/M/n/N, где . Действительно, пусть обозначает число заявок в системе в момент t. Вероятностное распределение после моментаt определяются:

1) числом заявок в системе в момент t;

2) моментами поступления заявок после момента t;

3) моментами окончаний обслуживания заявок после момента t.

В силу того, что входной поток простейший, моменты поступления заявок после момента t не зависят от предыстории системы до момента t. Аналогично, поскольку времена обслуживания показательно распределены, из-за “отсутствия памяти” у показательного распределения моменты окончания обслуживания заявок после момента t не зависят от предыстории системы до момента t. Поэтому вероятностное поведение

после момента t зависит только от и не зависит от поведения до момента t. Значит - марковский процесс с конечным или счетным числом состояний. Поэтому для нахождения зависящих от времени вероятностей состояний следует решить систему уравнений Колмогорова для безусловных вероятностей. Если интерес представляет стационарные вероятности, то следует решить систему уравнений равновесия. Для получения уравнений Колмогорова используется предельный переход при Dt®¥, который называется Dt-методом.

1.6 Марковские сети массового обслуживания

Сеть массового обслуживания представляет собой совокупность систем массового обслуживания, в которой циркулируют заявки, переходящие из одной системы в другую. Предположим, что сеть состоит из n систем массового обслуживания (СМО)

каждая из которых имеет неограниченное число мест для ожидания.

Под состоянием сети в момент времени tбудем понимать вектор:

где

- число заявок в i-ой СМО (на обслуживание и в очереди).

Сети массового обслуживания разделяют на два типа: замкнутые и открытые (разомкнутые). В замкнутой сети обслуживания постоянное число заявок

, то есть заявки не поступают извне и не уходят из сети. В открытую сеть заявки поступают из внешних источников и после завершения обслуживания могут покидать её.

Традиционный подход в описании моделей сетей массового обслуживания зависит от ряда предположений из теории стохастических процессов, например:

Переходы заявок между СМО сети описываются неприводимой цепью Маркова.

Заявки стохастически независимы.

Существует стационарный режим, работа сети может быть описана стационарным стохастическими процессами.

Времена обслуживания заявок в СМО сети распределены по показательному закону.

1.7 Нахождение стационарных вероятностей состояний открытой марковской сети массового обслуживания

Пусть входящий в открытую марковскую сеть массового обслуживания поток заявок описывается чистым процессом размножения с интенсивностью , причем в i-ую систему массового обслуживания входящая заявка поступает с вероятностью

. Времена обслуживания заявок в i-той системе массового обслуживания распределены по показательному закону , зависящим от текущего числа заявок в i-той системе i=1,...,n.

Дисциплины обслуживания заявок в системе сети FIFO. Переходы заявок между системами, а также уход заявки из сети описывается неприводимой цепью Маркова. Заявка, завершающая обслуживание в системе

, переходит с вероятностью в систему , есть вероятность ухода заявки из i-ой системы массового обслуживания сети.

В этом случае многомерный процесс N (t), определяющий состояние сети, является многомерным аналогом процесса размножения и гибели. Предположим, что существует стационарное распределение

,

принимает все возможные значения. Тогда, аналогично как и для одномерного процесса размножения и гибели, можно показать, что стационарное распределение единственно и удовлетворяет системе уравнений равновесия (баланса), которая представляет собой систему линейных разностных уравнений: