Инвариантность стационарного распределения трехузловой сети массового обслуживания (стр. 1 из 4)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

“Гомельский Государственный университет

имени Франциска Скорины"

Математический факультет

Кафедра математического анализа

Курсовая работа

Инвариантность стационарного распределения трехузловой сети массового обслуживания

Исполнитель

Студентка группы М-42 Грамович Е.Г.

Научный руководитель

Кандидат физико-математических

наук, старший преподаватель Якубович О.В.

Гомель 2004

Содержание

Введение

1. Теоретические сведения

1.1 Марковские процессы

1.2 Простейший поток

1.3 Время обслуживания

1.4 Классификация систем массового обслуживания

1.5 Марковские системы массового обслуживания

1.6 Марковские сети массового обслуживания

1.7 Нахождение стационарных вероятностей состояний открытой марковской сети массового обслуживания

1.8 Нахождение решения для немарковского случая

2. Марковский случай

2.1 Описание модели

2.2 Сеть массового обслуживания

2.3 Уравнения равновесия

2.4 Нахождение стационарных вероятностей

2.5 Условия эргодичности

3. Немарковский случай

3.1 Описание модели

3.2 Составление дифференциально-разностных уравнений

3.3 Поиск решения дифференциально-разностных уравнений

Список литературы

Введение

Математическая теория массового обслуживания является разделом теории случайных процессов, изучающим определенный класс задач, которые возникают на практике, когда заявки, нуждающиеся в обслуживании, прибывают к некоторому обслуживающему устройству. В качестве примеров заявок и обслуживающих их устройств можно назвать абонентские вызовы, поступающие на телефонный коммутатор, станки, ожидающие обслуживание рабочими, автомобили, ожидающие у дорожного пересечения, самолёты, прибывающие в аэропорт, суда, заходящие в порт и т.д.

Системами (моделями) массового обслуживания называют математические модели систем, которые предназначены для обслуживания заявок, поступающих через случайные промежутки времени, причем длительность обслуживания в общем случае также случайна.

Системы массового обслуживания описываются заданием:

входящего потока заявок;

совместного распределения времен обслуживания заявок;

числа обслуживающих приборов (линий);

дисциплины обслуживания, организации очереди и процесса обслуживания.

В данной курсовой работе рассматривается система массового обслуживания для которой:

1) входящий поток заявок является пуассоновским;

2) в системе три обслуживающих прибора;

A) Марковский случай.

3 время обслуживания экспоненциальное

4 дисциплина обслуживания FIFO;

Б) Немарковский случай.

3) время обслуживания определяется с помощью произвольной функцией распределения времени

обслуживания -м прибором одной заявки, такой что

;

4) дисциплина обслуживания LCFSPR; (заявка, поступающая в

-ый узел, вытесняет заявку с прибора и начинает обслуживаться, вытесненная заявка идет в начало очереди).

В курсовой работе для открытой марковской сети массового обслуживания составим уравнения равновесия, найдем стационарные вероятности, установим условия эргодичности. Для не марковского случая составим дифференциально-разностное уравнение в частных производных для процесса, дополненного остаточными временами, найдем решение данного уравнения. Сравним марковский и немарковский случай. Сделаем вывод.

1. Теоретические сведения

1.1 Марковские процессы

Пусть Т и Х - некоторые подмножества числовой прямой R.

Определение 1. Случайный процесс

со значениями в Х называется марковским, если для любых из Т и любых борелевских множеств из R

Другими словами, марковский процесс это такой случайный процесс, у которого при фиксированном настоящем будущее не зависит от прошлого. Если Х={i} конечно или счётно, то марковский процесс называют цепью Маркова. Если вероятности

не зависят от s, а зависят от t, то цепь Маркова называется однородной. Цепь Маркова с T={0,1,2,... } называют цепью с дискретным временем, цепь Маркова c

называют цепью с непрерывным временем.

Обозначим

называют вероятностями перехода из состояния i в состояние j за время t. Для цепи Маркова с дискретным временем обозначают и называют вероятностями перехода из i в j за n шагов.

Вероятностями перехода за 1 шаг

называют просто вероятностями перехода. Набор вероятностей называют начальным распределением цепи Маркова.

Определение 2. Цепь Маркова называется эргодической, если при

.

Если все

, то цепь называется строго эргодической.

Набор

называется эргодическим распределением, называются финальными вероятностями.

Определение 3. Распределение вероятностей

называется стационарным распределением, если

- распределение вероятностей, то есть и

для всех .

Определение 4. Однородная марковская цепь называется неприводимой, если для любых двух состояний i и j,

существует такое, что .

Определение 5. Однородная марковская цепь называется эргодической, если для любых начальных распределений абсолютное распределение

всегда сходятся к одному и тому же распределению, которое является единственным стационарным распределением цепи:

для всех

Теорема (Эргодическая теорема Фостера).

Регулярная Марковская цепь с непрерывным временем и счетным числом состояний эргодична, если она неприводима и система уравнений

имеет нетривиальное решение

такое, что

При этом существует единственное стационарное распределение, которое совпадает с эргодическим.

1.2 Простейший поток

Если у рекуррентного потока

,

то такой поток называется простейшим или пуассоновским потоком.

Определение 1. Если промежутки времени между моментами поступления заявок независимы и имеют показательное распределение с параметром l, то поток заявок называется простейшим или пуассоновским с параметром l.

Для простейшего потока вероятность поступления k заявок в промежутке времени [0,t) равна:

(k=0,1,2,…) (1)

Определение 2. Поток заявок называется стационарным, если для любых попарно непересекающихся интервалов времени

вероятность поступления в них соответственно заявок зависит только от этих чисел и от длин и не зависит от их расположения на временной оси.

Определение 3. Поток заявок называется потоком без последействия, если вероятность поступления kзаявок в течение промежутка времени [T,T+t) не зависит от того, сколько требований и каким образом поступало до момента Т.