Инверсия и ее применение (стр. 6 из 9)

Таким образом, возможен лишь случай в), то есть А вне гґ. Поэтому из точки А всегда можно провести две касательные к окружности гґ.

Перейдем к четвертому шагу. При инверсии прямая бґ преобразуется в окружность лишь в том случае, когда эта прямая не проходит через центр инверсии. Если же прямая бґ проходит через точку В, то прямая ВА касательная к окружности бґ. Но при инверсии прямая ВА преобразуется в себя, а окружность гґ - в окружность г. Следовательно, если прямая бґ проходит через точку В, то окружность г касается прямой ВА (и наоборот). В этом последнем случае прямая бґ инвертируется в прямую. Таким образом, приходим к следующему выводу: при данном способе построения мы получаем единственное решение, если прямая АВ касается окружности г, и два решения во всяком другом случае.

Рис.37

Решая задачу каким-либо иным способом, мы не получим новых решений. В самом деле, если бы задача имела более одного решения в случае, когда АВ касается г, или более двух решений в любом ином случае, то после инверсии относительно окружности щ оказалось бы, что через точку Аґ (Аґ ≡ А) проходило бы не менее трех касательных к окружности гґ, что невозможно.

Заметим, что данную задачу можно решить, принимая за центр инверсии точку на данной окружности г. При этом задача сводится к следующей: построить окружность, касающуюся данной прямой и проходящую через две данные точки. Эта задача может быть решена без привлечения метода инверсии.

2.2 Задача Аполлония

Методом инверсии может быть решена в общем случае задача Аполлония о касании окружностей:

Построить окружность, касающуюся трех данных окружностей.

Эта задача впервые была решена известным греческим геометром Аполлонием Пергским в III в. до н. э. в сочинении, которое до нас не дошло, но о котором упоминают некоторые древние математики (например, Папп). Способ, с помощью которого решил эту задачу Аполлоний, неизвестен. Многие задачи из числа рассматриваемых в школьном курсе геометрии представляют частные или предельные случаи задачи Аполлония. Частные случаи возникают при специальном расположении данных окружностей, предельные – когда все или некоторые из данных окружностей вырождаются в точки (радиус окружностей неограниченно уменьшается) или прямые (радиус неограниченно возрастает).

Прежде, чем решить задачу Аполлония в общем случае, рассмотрим некоторые частные и предельные случаи.

Задача 1. Построить окружность, проходящую через три данные точки.

Решение общеизвестно.

Задача 2. Построить окружность, касающуюся трех данных прямых. Решение этой задачи также общеизвестно. Она может иметь до четырех решений.

Задача 3. Построить окружность, проходящую через данную точку и касающуюся двух данных параллельных прямых.

Анализ. Пусть дана точка Р и и две параллельные прямые а и b. Обозначим расстояние между данными прямыми через d. Тогда радиус искомой окружности должен быть равен d/2. задача сводится к построению центра окружности, который должен удовлетворять двум условиям: 1) он должен быть одинаково удален от прямых а и b; 2) он должен отстоять от точки Р на расстоянии d/2. отсюда вытекает построение.

Построение.

1. АВ ┴ b, А Є а;

2. С Є АВ, АС = СВ;

3. с – прямая, С Є с, с ║а, с ║b;

4. щ (Р, d/2);

5. О1 = щ ∩ с;

6. щ1 (О1, О1Р) – искомая.

Рис. 38

Доказательство. Окружность щ1 касается прямых а и b, так как расстояния ее центра О1 от этих прямых одинаковы и равны d/2. эта окружность проходит через точку Р по построению.

Исследование. Возможны три случая.

1. Точка р расположена между данными прямыми а и b. Указанный способ построения дает два решения: щ1 (О1, О1Р) и щ2 (О2, О2Р). Других решения нет, ибо если бы существовали три окружности, удовлетворяющие условиям задачи, то их центры О1, О2 и О3 должны были бы лежать на одной прямой с. С другой стороння, мы должны были бы иметь О1Р = О2Р = О3Р = АС, то есть точки О1, О2 и О3 должны были бы лежать на одной окружности (Р, АС), так что возникает противоречие.

2. Точка Р - на одной из прямых а или b. Задача имеет одно решение.

3. Точка Р – вне полосы, ограниченной прямыми а и b. Задача не имеет решений.

Задача 4. Построить окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой.

Эта задача может быть решена методом инверсии, если за центр инверсии принять одну из данных точек, а ее расстояние до данной прямой принять за радиус инверсии. Она может быть решена и без инверсии.

Задача 5. Построить окружность, касающуюся данной окружности и проходящую через две данные точки. Эта задача решена в предыдущем пункте в предположении, что данные точки расположены вне данной окружности. В других случаях решение аналогично или еще проще.

Задача 6. построить окружность, касающуюся трех данных окружностей, проходящих через одну общую точку Р.

Если принять общую точку трех данных окружностей г1, г2 и г3 за центр инверсии, то эти окружности преобразуются в три прямые. Таким образом, задача сводится к построению окружности, касающейся трех построенных прямых. Искомая окружность – образ этой окружности в данной инверсии.

Переходим к решению задачи Аполлония в общем случае, причем остановимся лишь на основных моментах этого решения, не вникая в отдельные его детали.

Решение, которое мы дадим, основано на предварительном решении двух вспомогательных задач (представляющих предельный и частный случаи общей задачи).

1-я вспомогательная задача: построить окружность, касающуюся двух параллельных прямых и данной окружности.

Задача обычно решается методом геометрических мест. Пусть а и b – данные прямые, г (О, r) – данная окружность (рис. 39).

Рис. 39

Из произвольной точки А на прямой а опускаем перпендикуляр АВ на прямую b. Через середину С отрезка АВ проводим прямую с параллельно а. строим окружность д (О, r + АС) (или радиуса │r - АС│). Отмечаем точку пересечения этой окружности с прямой с; это и будет центр искомой окружности.

Эта задача может иметь до четырех различных решений.

2-я вспомогательная задача: построить окружность, касающуюся трех данных окружностей, если две из них взаимно касаются.

Эта задача решается методом инверсии. Пусть г1, г2 и г3 – данные окружности, причем г1 и г2 касаются в точке Т (рис. 40).

Рис. 40

Примем точку Т за центр инверсии, а за радиус инверсии – произвольный отрезок (удобно избрать его так, чтобы базисная окружность щ пересекла окружности г1 и г2). При инверсии окружности г1 и г2 преобразуются в пару параллельных прямых гґ1 и гґ2, а окружность г3 – в некоторую окружность (или прямую) гґ3. построить окружность гґ, касающуюся прямых гґ1 и гґ2 и линии гґ3, мы умеем (см. 1-ю вспомогательную задачу). При инверсии этой окружности она преобразуется в окружность (или прямую) г, которая будет касаться трех данных окружностей г1, г2 и г3.

Решение задачи Аполлония в общем случае сводится к этой 2-й вспомогательной задаче. Мы воспользуемся для этого приемом, иногда называемым «методом расширения».

Для определенности рассмотрим тот случай, когда каждая из трех данных окружностей расположена вне двух других (рис. 41).

Рис. 41

В других случаях решение проводится аналогично.

Пусть г1 (О1, r1), г2 (О2, r2) и г3 (О3, r3) –данные окружности. Пусть, далее, прямая О1О2 пересекает окружность г1 в точках А1 и Аґ1, а окружность г2 – в точках А2 и Аґ2. из четырех отрезков А1А2, Аґ1Аґ2, Аґ1А2 и А1Аґ2 выберем кратчайший. Пусть это будет отрезок А1А2. обозначим через Т его середину. Увеличим радиусы всех данных окружностей на отрезок А1Т, то есть построим окружности гґ1 (О1, r1 + А1Т), гґ2 (О2, r2 + А1Т), гґ3 (О3, r3 + А1Т). из них окружности г1 и гґ2 касаются в точке Т. мы можем теперь построить окружность гґ, касающуюся трех окружностей гґ1, гґ2 и гґ3 (см. 2-ю вспомогательную задачу). Обозначим центр окружности гґ через О, а радиус - через rґ. Если затем построить концентрическую ей окружность г (О, rґ + А1Т), то эта последняя будет касаться трех данных окружностей.

Число всех возможных решений задачи Аполлония зависит от взаимного расположения данных окружностей. Приведем без доказательства несколько примеров.

1. Если окружность г2 расположена внутри окружности г1, а окружность г3 вне окружности г1 (рис. 42), то задача Аполлония вовсе не имеет решения. Это относится в частности, и к случаю, когда все три данные окружности концентрические.

2. Если две окружности г1 и г2 касаются, а третья окружность г3 пересекает их в точке их касания, то задача Аполлония имеет два решения Г1 и Г2 (рис. 43).

3. Если каждая из данных окружностей расположена вне двух других, причем касательная к каждым двум из данных окружностей не имеет обшей точки с третей окружностью, то задача имеет восемь решений (рис. 44).

4. Если три данные окружности попарно касаются в одной точке, то можно провести бесконечно много окружностей, касающихся каждой из данных (рис. 45).

Рис. 42

Рис. 43

Рис. 44

Рис. 45

Полное исследование показывает, что если задача Аполлония имеет лишь конечное число решений, то их не более восьми.

Приложение.

Рассмотрим некоторые задачи, для решения которых используется понятие и метод инверсии.