Инверсия и ее применение (стр. 7 из 9)

Задача 1. Дан квадрат, две вершины которого лежат на окружности инверсии, а третья – в центре инверсии. Построить фигуру, ему инверсную.

Анализ. Пусть щ (О, R) – базисная окружность, ОАВС – данный квадрат. Точка А Є щ, точка С Є щ. При инверсии точка А переходит в точку Аґ, точка С – в Сґ, точка В – в Вґ, а ОС переходит в прямую ОL∞, ОА – в ОК∞, АВ переходит в дугу m, СВ переходит в дугу n. Таким образом, фигура определяется как СґnВґmАґВ, которая является инверсией квадрата ОАВС.

Рис. 1

Построение. (рис. 1).

1. щ (О, R) базисная окружность;

2. В → Вґ, А ≡ Аґ, С ≡ Сґ;

3. СВ → СnВґ;

4. АВ → АґmВґ;

5. СґnВґmАґВ – искомая фигура.

Доказательство. Доказательство следует из анализа и построения.

Исследование. Задача всегда имеет решение и притом единственное.

Задача 2. Дан квадрат, однв вершина которого совпадает с центром инверсии, а противоположная вершина лежит на окружности инверсии. Построить фигуру, ему инверсную.

Анализ. Пусть щ (О, R) – базисная окружность, ОАВС – данный квадрат, В Є щ. При инверсии точка В переходит в точку Вґ, В ≡ Вґ, точка А переходит в точку Аґ, Аґ

l, В l, точка С переходит в точку Сґ, Сґ l. АВ переходит в дугу АґmB окружности щ1 (А, ОА), ВС переходит при инверсии в дугу СґnВ окружности щ2 (С, ОС). ОА – часть луча, поэтому при инверсии ОА преобразуется во внешнюю его часть АґК∞, а ОС – в СґL∞. Таким образом, инверсная фигура определяется как К∞АґmВґnСґL∞.

Построение. (рис. 2)

1. щ (О, R) – базисная окружность;

2. В ≡ Вґ, А ≡ Аґ, С ≡ Сґ, В

l, Аґ l, Сґ l;

3. АВ → АґmBґ;

4. ОС → ВґnCґ;

5. ОА → АґК∞;

6. ОС → СґL∞;

7. К∞АґmВґnСґL∞ - искомая фигура.

Доказательство. Доказательство следует из анализа.

Рис. 2

Исследование. Задача всегда имеет решение и притом единственное.

Задача 3. Построить фигуру, инверсную окружности, концентрической базисной.

Анализ. Пусть щ (О, Р) – базисная окружность инверсии, щ1 (О1, R1) – данная окружность. Так как окружность щ (О, R1) не проходит через центр инверсии, то преобразуется в окружность. Для построения искомой окружности надо найти точки Аґ и Вґ - инверсные точкам А и В, где А и В – диаметрально противоположные точки, а отрезок АґВґ - являются диаметром искомой окружности.

Построение.

1. щ (О, Р) базисная окружность, щ1 (О1, R1) – данная окружность, причем R1 ≠ R2;

2. О

m – произвольная прямая;

3. А = m

щ1, В = m щ2;

4. Точка Аґ - инверсна точке А, Вґ - Инверсна точке В;

5. щ1ґ (О,

) – искомая окружность (рис 3).

Доказательство следует из анализа.

Рис 3

Исследование. Задача всегда имеет единственное решение.

Задача 4. Точка описывает хорду базисной окружности, отличную от диаметра. Построить линию, которую описывает инверсная точка.

Анализ. Пусть щ (О, Р) – базисная окружность инверсии, АВ – хорда, причем О

АВ. Точка М описывает хорду АВ.

Заметим, что А = Аґ, В = Вґ. Прямая АВ не проходит через центр О, значит преобразуется в окружность щ1, которая проходит через центр.

Но так как дана не вся прямая, а только хорда АВ, то она преобразуется в дугу относительно окружности щ1 (концы дуг А и В), причем, во внешнюю дугу относительно окружности щ (О, Р), так как данная точка М расположена внутри окружности щ (О, Р).

Построение.

1. щ (О, Р), АВ – данная хорда;

2. щ1 – окружность, которая проходит через точки О, А, В;

3.

АmВ – внешняя относительно щ, которая является искомой фигурой (рис. 4).

Рис 4

Доказательство следует из анализа.

Исследование. Задача всегда имеет единственное решение.

Задача 5. Найти такую точку, чтобы касательные, проведенные из нее к двум данным окружностям были равны ее расстоянию от данной точки.

Анализ. щ1 (О1, R1), щ2 (О2, R2) – данные окружности. Пусть точка А – искомая, тогда АК = АМ = АN. АК – касательная к щ1, АМ – касательная к щ2, то есть точка А

а12 – радикальная ось окружности щ1 и щ2 и А а20 – радикальная ось щ2 и точки N, отсюда следует, что А = а12 а20.

Построение.

1. щ1 (О1, R1), щ2 (О2, R2) – данные окружности, N – данная точка;

2. а12 – радикальная ось щ1 и щ2;

3. а20 – радикальная ось щ2 и N;

4. А = а12

а20, А – искомая точка (рис. 5).

Рис. 5

Доказательство. Точка А – радикальный центр щ1, щ2 и N.

Исследование.

1. Если щ1 и щ2 - концентрические, то задача не имеет решения.

2. Если N внутри щ1 (О1, R1) или щ2 (О2, R2), то решений нет.

3. Если радкальные оси параллельны, то решений нет.

4. Если радикальные оси совпадают, то задача имеет бесконечное множество решений.

Задача 6. Построить фигуру, инверсную сектору базисной окружности.

Анализ. Пусть щ (О, R) – данная базисная окружность, АmВО – данный сектор.

При инверсии точка А переходит в точку Аґ, часть луча ОА переходит во внешнюю его часть АґК∞. дуга АmВ при инверсии преобразуется в себя.

Точка В преобразуется в точку Вґ. ОВ преоюразуется в ВґL∞. Таким образом сектор базисной окружности АmВО преобразуется в фигуру, определяемую внешней частью луча, АґК∞, ВґL∞ и дугой АґmВґ.

Построение.

1. щ (О, R) – базисная окружность;

2. А ≡ Аґ, В ≡ Вґ;

3. ОА → АґК∞;

4. ОВ → ВL∞;

5.

АmВ → АґmВґ;

6. К∞АґmВґL∞ - искомая фигура (рис. 6).

Доказательство. Доказательство следует из анализа и построения.

Исследование. Задача имеет всегда решение и притом единственное.

Рис. 6

Задача 7. Даны две окружности, касающиеся друг друга в точке А. приняв точку А за полюс инверсии построить фигуру, инверсную двум окружностям.

Анализ. Пусть щ1 (О1, R1), щ2 (О2, R2) – данные окружности, щ (А, R) - базисная окружность. В = щ

щ2, С = щ щ2, D = щ щ1, К = щ щ1. при инверсии точки В, С, D и К преобразуются в себя, так как они принадлежат щ (А, R). Так как окружности щ1 и щ2 проходят через центр базисной окружности, то они преобразуются в прямые : l1 B, l1 C, l2 D, l2 К.

Построение.

1. щ1 (О1, R1), щ2 (О2, R2) – данные окружности, щ1

щ2 = А, щ (А, R) - базисная окружность;

2. В = В = щ

щ2, В → Вґ;

С = С = щ

щ2, С → Сґ;

3. D = щ

щ1, D → Dґ;

К = К = щ

щ1, К → Кґ;

4. l1

Вґ, l1 Сґ, l2 Dґ, l2 Кґ, l1 и l2 – искомые прямые (рис 7).

Рис. 7

Доказательство.Доказательство следует из анализа и построения.

Исследование. Задача имеет единственное решение.

Задача 8. через данную точку А провести окружность, ортоганальную двум данным окружностям.

Анализ. щ1 (О1, R1), щ2 (О2, R2) – данные окружности, точка А - данная точка.

Примем щ1 и щ2 за базисные, тогда точка А при инверсии преобразуется в точку Аґ, Аґ

О1А, и А преобразуется Аґґ, Аґґ О2А.