Инверсия плоскости в комплексно сопряженных координатах (стр. 2 из 11)

Действительная ось имеет уравнение

, и формула осевой симметрии относительно lбудет . Окружность имеет уравнение .

Если точка А имеет координату а, то симметричная ей точка В будет иметь координату

. Докажем, что она тоже лежит на окружности.

Действительно, поскольку А ей принадлежит, то

, что и означает принадлежность точки В( ) этой окружности. ■

Если А не лежит на действительной оси, то больше общих точек у пучка окружностей, проходящих через А и перпендикулярных l, нет. Если бы была еще общая точка С, то рассматриваемые окружности проходили бы через точки А, В и С, то есть все совпадали бы.

Если А лежит на действительной оси, то у окружностей также больше нет общих точек, поскольку центр их лежит на этой оси, и если есть еще одна общая точка В (не лежащая не действительной оси, иначе окружности банально совпадут), то есть еще одна общая точка – симметричная ей, и у окружностей есть три общие точки, то есть они все совпадут, что невозможно.

Значит, если окружности перпендикулярны прямой lи проходят через точку А, и точка В симметрична точке А относительно прямой l (точки А и В могут совпадать), то это единственные общие точки этих окружностей.

Поэтому можно дать такое определение симметрии относительно прямой.

Определение3. Точки А и В называются симметричными относительно прямой l, если все окружности, перпендикулярные прямой lи проходящие через точку А, проходят и через точку В.

Введем теперь понятие симметрии относительно окружности. Докажем сначала следующую теорему.

Теорема 2. Все окружности, перпендикулярные данной окружности Σ и проходящие через данную точку А, не лежащую на Σ, проходят одновременно и через некоторую точку В, отличную от точки А.

□ Рассмотрим некоторую окружность w, удовлетворяющую нашим условиям.

Введем систему координат таким образом, что начало координат располагается в центре окружности Σ и радиус ее равен 1, а точка А лежит на действительной оси.

Тогда Σ задается уравнением

, w задается уравнением , где s – координата центра, r – радиус. Перпендикулярность окружностей дает равенство . Раз А лежит на w, то верно , а с учетом предыдущего равенства .

Точка А, по условию, не лежит на окружности Σ, и А лежит на действительной оси, поэтому

и , то есть , откуда . Последнее число, очевидно, тоже является действительным. Тогда докажем, что точка с координатой лежит на w, то есть верно . Но это равносильно , или , что верно. Значит, точка с координатой лежит на w. Так как она отлична от точки А, а окружность w бралась произвольно, то мы нашли другую общую точку всех наших окружностей, что и требовалось. ■

Заметим, что точка А не может совпадать с центром окружности Σ, поскольку тогда касательная к w будет иметь с последней две общие точки, что невозможно.

Естественно, что других общих точек у окружностей, перпендикулярных окружности Σ и проходящих через точку А, не лежащую на Σ, нет, поскольку тогда пучок этих окружностей проходил бы через три точки, то есть все окружности бы совпадали.

Заметим также, что точки с координатами 0, а и

коллинеарны. Две последние точки лежат по одну сторону от центра Σ. Причем если А лежит внутри окружности Σ, то В – вне ее, и наоборот. Также произведение расстояний от этих точек до центра окружности постоянно и равно действительному числу – квадрату радиуса данной окружности.

Если А лежит на Σ, то других общих точек у пучка таких окружностей нет. Действительно, если бы была еще одна точка, не лежащая на Σ, то по теореме была бы к тому же общей и не совпадающая с ней точка, не лежащая на окружности, то есть не совпадающая с А. Тогда у окружностей три общих точки и они все совпадут, что невозможно.Если же еще одна общая точка

окружностей лежит на Σ, то можно поступить так. Точка А лежит на Σ, поэтому

или

. Но мы всегда можем перенаправить действительную ось в противоположную сторону, поэтому будем считать, что

. Тогда из верного равенства получаем, что . Так как В лежит на w, то верно , но В лежит и на Σ, тогда последнее равенство запишется как . Получаем систему Û Û .

Так как

, то и левая часть первого условия не должна равняться нулю. Значит, из первого условия можно смело находить центр w. Но тогда все окружности пучка совпадут, так как радиус окружностей находится как расстояние

, что невозможно.

Также заметим, что и в этом случае квадрат расстояния от точки А до центра окружности равен квадрату радиуса данной окружности.

Теперь становится естественным следующее определение:

Определение 4. Точка А называется симметричной точке В относительно окружности Σ, если каждая окружность, проходящая через А и перпендикулярная Σ, проходит через точку В.

Для каждой точки А существует только одна ей симметричная. Причем, очевидно, что если А лежит на Σ, то у нее нет отличных от нее симметричных точек, она симметрична сама себе. Также очевидно, что если А совпадает с центром окружности симметрии, то у нее нет симметричной ей точки.

Еще ясно, что произведение расстояний от центра данной окружности до симметричных точек равно квадрату радиуса этой окружности.

Если точка А симметрична точке В относительно окружности Σ, то и точка В симметрична точке А относительно окружности Σ. Это позволяет говорить о точках, симметричных относительно окружности. Совокупность всех точек, симметричных точкам некоторой фигуры F относительно окружности Σ, образует фигуру F’, симметричную фигуре F относительно окружности Σ.

Симметрия относительно прямой является предельным случаем симметрии относительно окружности, так как прямую можно рассматривать как окружность бесконечного радиуса.

Симметрия относительно окружности называется также инверсией; в этом случае окружность, относительно которой производится симметрия, называется окружностью инверсии, центр этой окружности – центром инверсии, а квадрат ее радиуса – степенью инверсии.

Инверсию можно еще определить и так:

Определение5. Инверсией плоскости с центром в точке S и степенью инверсии k называется преобразование, которое всякую точку М плоскости, отличную от S, отображает в такую точку М’, что точка М’ лежит на луче SM и произведение

.

Докажем равносильность определений 4 и 5.

4Þ5. Вспомним, что при доказательстве теоремы 2 и далее в рассуждениях мы пришли к факту, что симметричные относительно окружности точки лежат на одной прямой с центром окружности Σ и по одну сторону от него, причем произведение их расстояний до центра этой окружности равно постоянному действительному числу – квадрату радиуса окружности. Это было показано для каждой точки, отличной от центра окружности.