Инверсия плоскости в комплексно сопряженных координатах (стр. 4 из 11)

Итак, прямая, содержащая центр инверсии, отображается при этой инверсии в себя; прямая, не содержащая центр инверсии, отображается в окружность, проходящую через него. Поскольку инверсия инволютивна, то окружность, содержащая центр инверсии, отображается в прямую, не содержащую его.

Возьмем теперь окружность

, не проходящую через центр инверсии . Тогда выполняется . Ее образ имеет уравнение (штрихи опущены). При раскрытии скобок получим . Умножим на , это будет равносильным преобразованием, поскольку ; получим . Так как , то этим уравнением задается окружность с центром и радиусом . Она не проходит через центр инверсии. Интересно, что центр инверсии 0, центр данной окружности s и центр ее образа коллинеарны, поскольку число действительное. Но центр окружности при инверсии не переходит в центр окружности образа. Если центр данной окружности sперейдет в , то тогда должно выполняться . Поскольку , умножим на , получим равносильное равенство . Отсюда , то есть , что невозможно. Значит, предположение было неверно, и центр данной окружности не переходит в центр окружности образа.

Итак, окружность, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, также не проходящую через центр инверсии.

В частности, если центр инверсии совпадает с центром окружности, то

и окружность при инверсии переходит в окружность , центр которой также совпадает с центром инверсии. Итак, окружность, центр которой совпадает с центром инверсии, при этой инверсии переходит в концентрическую окружность. В частности, окружность с уравнением инвариантна.

Интересно, что центр инверсии является одновременно и центром гомотетии, переводящей одну окружность в другую. Для нашего случая гомотетия будет иметь уравнение

. Убедиться в этом можно простой подстановкой: эта гомотетия переводит окружность в фигуру . Поделив обе части на , получим окружность с центром и радиусом , что и требовалось доказать.

Теперь становится ясно, что каждую окружность можно при помощи подходяще выбранной инверсии перевести в другую данную окружность или прямую. Докажем это.

Пусть даны две окружности действительного радиуса. Рассмотрим сначала случай, когда их радиусы не равны.

Мы уже показали, что центры окружностей и центр инверсии должны лежать на одной прямой. Понятно, что центр инверсии не лежит на данных окружностях.

Точки, лежащие на прямой центров, переходят в точки, лежащие на той же прямой. Поэтому могут быть два порядка точек:

и .

Введем систему координат таким образом, что центры окружностей лежат на действительной оси, причем центр одной совпадает с началом координат, а радиус ее равен 1.

Покажем, что существует инверсия для первого случая.

Пусть точки пересечения второй окружности с действительной осью имеют координаты а₁ и а₂. Тогда при инверсии а₁ переходит в -1, а а₂ – в 1. Тогда можно записать, что

, . То есть получаем систему: , что равносильно . Вычтем: , откуда, в силу неравности радиусов, . Может статься, что это не является решением. Решением это будет в точности тогда, если совпадут значения k из обоих уравнений.

Из первого уравнения

= .

Из второго условия получаем

= . Тот же самый результат. Итак, получаем единственную инверсию с центром в точке и степенью .

Точка с координатой а₂ лежит на действительной оси правее точки с координатой а₁, поэтому для определения знака степени нужно знать знак произведения

.

Степень инверсии будет положительна в двух случаях: либо

, откуда , либо , откуда , то есть когда одна окружность лежит целиком внутри другой. В остальных случаях степень инверсии будет отрицательна.

Рассмотрим второй случай. Тогда при инверсии а₁ переходит в 1, а а₂ – в -1. Можно записать, что

, . То есть получаем систему: , что равносильно . Вычтем: , откуда, в силу неравности радиусов, .

Аналогично, может оказаться, что это не является решением. Решением это будет в точности тогда, если совпадут значения k из обоих уравнений.

Из первого уравнения

, откуда . Из второго уравнения = . Тот же самый результат.

Знак степени определяется знаком произведения

. Отрицательна она будет только в случае , то есть или в случае , то есть . Это происходит в точности когда одна окружность лежит внутри другой. Положительной степень будет в противном случае.