Инверсия плоскости в комплексно сопряженных координатах (стр. 9 из 11)
Вывод: Σ – прямая Û
.Теперь рассмотрим прямую AS’. По первому выводу,
будет прямая. С другой стороны, раз AS’ – прямая, то, по второму выводу, 
будет проходить через М’. Тогда имеем, что 
, где AS’ и AM’ - прямые.Угол, образованный прямой AM’ с окружностью w в результате 4 последовательных инверсий не изменится ни по величине, ни по направлению (по следствию 5). Отсюда следует, что прямые AS’ и AM’ , образующие в точке А одинаковый угол с данной окружностью, совпадут. И точка А может быть найдена как пересечение прямой S’M’ с окружностью w. В зависимости от взаимного положения этой прямой и окружности, задача может иметь два, одно или ни одного решения.
Может получиться, что точки S’ и M’ совпадут. Это происходит либо при
= 
, либо при 
. Мы этот случай рассматривать не будем, поскольку цель главы – показать применение инверсии при решении задачи, а это было сделано.Отсюда алгоритм решения:
1. Переносим начало координат в точку S(s). Это параллельный перенос. Соответственно, высчитываем новые координаты точек m1, m2 и m3 по формуле
.2. Находим координаты точек
и 
при инверсиях с формулами 
, 
, 
. Если координаты совпали, то получился случай, который мы не рассматривали, иначе они задают прямую 
, для простоты обозначим 
, 
.3. Три раза заходим в процедуру решения системы
Û 
. В первый раз с 
, 
, и получаем точки а1 и а2. Второй раз (если есть и а2, то с каждым из этих значений) – с 
, 
. Для каждого аi можем получить одно-единственное решение – координату bi. Третий раз (если есть и b2, то с каждым из этих значений) – с 
, 
. Для каждого bi можем получить одно-единственное решение – координату ci.4. Переводим полученные координаты в исходную систему координат:
. Это и будут вершины треугольника. ●Третья группа. Всякая задача на построение дает некоторую фигуру, причем некоторые элементы этой фигуры неизвестны. Инвертируем эту фигуру. Тогда данные искомые отобразятся известным образом, и часто может случиться, что зависимость данных и искомых в отображенной фигуре гораздо проще, чем в основной фигуре. Тогда надо построить отображенную фигуру. Потом инвертировать ее обратно с тем же центром и степенью. В этом и состоит главная идея метода инверсии. Разумный выбор начала инверсии играет существенную роль: вычисления можно сильно сократить. Степень инверсии в этом случае обычно бывает произвольной.
Классическим примером задач этого типа можно назвать задачу Аполлония.
Задача Аполлония. Построить окружность, касающуюся трех данных окружностей.
○ Пусть даны три окружности:
, 
и 
.Допустим, что мы уже построили нужную окружность
. Она, в общем случае, может касаться данных окружностей восемью способами: каждую внутренним или внешним образом.Таблица 1. Характер касания с искомой окружностью w.
| № | S1 | S2 | S3 |
| 1 | внешнее | внешнее | внешнее |
| 2 | внутреннее | внешнее | внешнее |
| 3 | внешнее | внутреннее | внешнее |
| 4 | внутреннее | внутреннее | внешнее |
| 5 | внешнее | внешнее | внутреннее |
| 6 | внутреннее | внешнее | внутреннее |
| 7 | внешнее | внутреннее | внутреннее |
| 8 | внутреннее | внутреннее | внутреннее |
Если у нас есть две касающиеся окружности, то выполним инверсию с центром в точке касания, эти две окружности перейдут в параллельные прямые, и задача сведется к более простой: построить окружность или прямую, составляющую с получающимися параллельными прямыми и еще одной прямой или окружностью угол в 180°.
Если же нет касающихся окружностей, то применим так называемый метод расширения. Мы можем изменять наши окружности так, чтобы центры их всегда оставались постоянными, а радиусы менялись, вплоть до нулевого, и касание искомой окружности с данными сохранялось (возможно, выродившись в принадлежание точки окружности). Причем сделаем так, чтобы две из окружностей касались.
Если у нас все окружности одна в другой, как матрешки, то решений, очевидно, нет. Рассмотрим противоположный случай, когда есть хотя бы две окружности не одна в другой. Для определенности, пусть это первая и вторая. Они могут быть только либо пересекающимися, либо вне друг друга.
Сделаем их касающимися следующим образом.
Таблица 2. Новые радиусы для окружностей одна вне другой, чтобы касались.
| Измененный r1 | Измененный r2 | Измененный r3 | Измененный rw | x | касание |
 |  |  ,  |  |  | 1, 5 |
| |  | , |  |  | 2, 6 |
 | | , | |  | 3, 7 |
| | | , | |  | 4, 8 |
Таблица 3. Новые радиусы для пересекающихся окружностей, чтобы касались.
| Измененный r1 | Измененный r2 | Измененный r3 | Измененный rw | x | касание |
 |  | , | |  | 1, 5 |
| | | , | | | 2, 6 |
| |  | , | |  | 3, 7 |
| | | , |  | | 4, 8 |
Объединим все это в новую таблицу, не учитывая вид касания.