Иррациональные уравнения (стр. 2 из 10)
Рассмотрим примеры преобразований, которые могут привести к расширению ОДЗ, т.е. к появлению «посторонних» корней.
1. Замена уравнения
уравнением 
Если при некотором значении
, равном 
, верно равенство 
, то верным является также равенство 
. Значит, уравнение является следствием исходного уравнения. При этом может существовать такое значение , равное 
, при котором 
и 
. Тогда число , являющееся корнем уравнения 
, не является корнем исходного уравнения, т.к. при 
исходное уравнение не имеет смысла.Пример 1. Решить уравнение
.Решение.
. Тогда 
.Проверка.
При
знаменатель уравнения не обращается в ноль, а при 
- обращается. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень: -10.О т в е т:
.2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
Пусть даны два уравнения
(1) и 
. Если - корень первого уравнения, то верно равенство 
. Из равенства двух чисел вытекает равенство их квадратов, т.е. 
, а это означает, что - корень уравнения (2). Значит из уравнения (1) следует уравнение (2).В то же время из равенства квадратов чисел не следует равенство этих чисел (числа могут быть противоположенными). Поэтому из уравнения (2) не следует уравнение (1). Отсюда вытекает, что если при решении уравнения использовалось возведение обеих частей уравнения в квадрат, то нужно повести дополнительное исследование, позволяющее исключить «посторонние» корни, если они появились.
Пример 1. Решить уравнение
.Решение. Возведем обе части этого уравнения в квадрат.
; 
.Тогда 
, 
.Проверка.
Если
, то 
, равенство не верно, следовательно, -1- не является корнем исходного уравнения.Если
, то 4=4, равенство верно.Следовательно, уравнение имеет единственный корень: 4.
О т в е т: {4}.
3. Выполнение в одной части (или в обеих частях) уравнения тождественных преобразований, приводящих к расширению области определения равнения.
Если некоторое тождественное преобразование привело к расширению области определения уравнения, то получаем уравнения - следствие. При этом могут существовать такие значения переменной, которые являются корнями исходного уравнения.
Пример 1. Решить уравнение
.Решение. Выполнив приведение подобных слагаемых, получим:
. Тогда 
, 
.Проверка.
Если
, то выражение 
не имеет смысла.Если
, то 
, равенство верно.Следовательно, уравнение имеет единственный корень:5.
О т в е т: {5}.
Пример 2. Решить уравнение
.Решение.
или 
. Тогда 
, 
.Проверка.
Если
, то выражение 
не имеет смысла.Если
, то 
, равенство верно.Следовательно, уравнение имеет единственный корень:-2.
О т в е т: {-2}.
Если при решении уравнения мы заменили его уравнением - следствием, то указанная выше проверка является неотъемлемой частью решения уравнения. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в следствие.
Рассмотрим уравнение
(3) и умножим обе части его на одно и тоже выражение 
, имеющее смысл при всех значениях . Получим уравнение: 
(4), корнями которого служат как корни уравнения (3), так и корни уравнения 
.Значит, уравнение (4) есть следствие уравнения (3). Ясно, что уравнения (3) и (4) равносильны, если «постороннее» уравнение
не имеет корней. Таким образом, справедлива следующая теорема.Теорема 1. Если обе части уравнения умножить на
, то получится уравнение, являющееся следствием исходного. Если уравнение не имеет корней, то полученное уравнение равносильно исходному (если область допустимых значений не уже области допустимых значений переменной данного уравнения).Пример 1.
.Заметим, что подобное преобразование, т.е. переход от уравнения (4) к уравнению (3) делением обеих частей уравнения (4) на выражение
, как правило, недопустимо, поскольку можно привести к потери корней, в этом случае могут «потеряться» корни уравнения .Пример 2. Уравнение
имеет два корня: 3 и 4.Деление обеих частей уравнения на
приводит к уравнению 
, имеющий только один корень 4, т.е. произошла потеря корня.Снова возьмем уравнение (3) и возведем обе его части в квадрат. Получим уравнение:
(5), корнями которого служат как корни уравнения (3), так и корни «постороннего» уравнения 
. Ясно, что уравнения (3) и (5) равносильны, если у «постороннего» уравнения нет корней.Пример 3. Уравнение
имеет корень 4. Если обе части этого уравнения возвести в квадрат, то получится уравнение 
, имеющие два корня: -2 и 4. Значит, уравнение 
- следствие уравнения . При переходе от уравнения к уравнению появился «посторонний» корень: -2.