Иррациональные уравнения (стр. 3 из 10)
Теорема 2. При возведении обеих частей уравнения в квадрат (и вообще в любую четную степень) получается уравнение, являющееся следствием исходного.
Пример 1.
.При решении иррационального уравнения чаще всего стараются заменить его более простым, но равносильным исходному. Поэтому важно знать равносильные преобразования.
Определение 10. Уравнение, имеющее одни и те же корни, называют равносильными уравнениями. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными. Другими словами два уравнения называют равносильными, если множества их решений совпадают. Равносильность обозначается следующим образом:
.Пример 1. Уравнения
и 
равносильны, т.к. каждое из них имеет единственный корень – число 3. 
.Пример 2. Уравнения
и 
не равносильны, т.к. первое имеет только один корень: 6, а второе имеет два корня: 6 и -6.Пример 3. Уравнения
и 
равносильны, т.к. множества их решений пусты. .Определение 11. Пусть даны уравнения
и 
и некоторое множество М. Если любой корень первого уравнения, принадлежащий множеству М, удовлетворяют второму уравнению, а любой корень второго уравнения, принадлежащий множеству М, удовлетворяет первому уравнению, то эти уравнения называются равносильными на множестве М.Пример 1.
и 
не являются равносильными на множестве всех действительных чисел, т.к. первое уравнение имеет единственный корень 1, а второе имеет два корня: -1 и 1. Но эти уравнения равносильны на множестве всех неотрицательных чисел, т.к. каждое из них имеет на этом множестве единственный корень: 1.Отметим, что часто множество М совпадает либо с ОДЗ уравнения
, либо множеством всех действительных чисел.Имеется ряд теорем о равносильности уравнений.
Теорема 3. При возведении обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень получается уравнение, равносильное исходному.
Пример 1.
.Теорема 4. Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное исходному.
Пример 1.
.Теорема 5. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже отличное от ноля число, то получится уравнение, равносильное исходному.
Пример 1.
(обе части первого уравнения разделили на 2).Теорема 6. Если в какой либо части уравнения выполнить тождественные преобразования, не меняющие области определения уравнения, то получится уравнение, равносильное исходному.
В школьной практике при решении иррациональных уравнений чаще всего используются два основных метода:
1) обеих частей уравнения в одну и ту же степень;
2) введение новых (вспомогательных) переменных.
Эти методы будем считать стандартными. В обязательном школьном курсе обычно этими методами и ограничиваются. Однако иногда приходится применять нестандартные методы и искусственные приемы решения иррациональных уравнений.
Типичная ошибка при решении иррациональных уравнений состоит в том, что школьники без дополнительных пояснений используют преобразования, нарушающие равносильность, что приводит к потере корней и появлению «посторонних» корней.
При возведении обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень надо иметь в виду, что если степень - не четное число, то получим равносильное уравнение, если же степень - четное число, то получим уравнение - следствие. Поэтому при решении иррациональных уравнений в большинстве случаев необходима проверка найденных решений.
Проверки можно избежать, если решать иррациональные уравнения с помощью равносильных замен. Для этого полезно знать следующие теоремы.
Теорема 7. Уравнение вида
равносильно смешанной системе 
Уравнение вида
Теорема 8. Уравнение вида
или 
.Уравнение вида
.Далее рассмотрим более подробно типы иррациональных уравнений и методы их решения.
2. Стандартные иррациональные уравнения
Как правило, в школьном курсе рассмотрение иррациональных уравнений сводится к разбору нескольких несложных примеров. Они в большинстве случаев решаются возведением в квадрат левой и правой частей уравнения. После решения обязательно выполняется проверка. Не обращается внимание на то, что иррациональные уравнения могут решаться и с использованием понятия равносильности. В данном параграфе представлены различные виды иррациональных уравнений, которые можно отнести к стандартным и решать одним из следующих методов, а именно:
1) метод перехода к уравнению - следствию с последующей проверкой полученных корней;
2) метод равносильного перехода к уравнению или к смешанной системе;
3) метод введения новой переменной.
2.1 Уравнения вида
Пример 1. Решить уравнение
.Решение. Возведем обе части исходного уравнения в квадрат.
.О т в е т: {6}.
Пример 2. Решить уравнение
.Решение. В левой части исходного уравнения стоит арифметический квадратный корень – он по определению неотрицателен, а в правой части – отрицательное число.
Следовательно, уравнение не имеет корней.
О т в е т:
.Запишем равносильность, с помощью которой решаются уравнения данного вида.
, если 
и не имеет решения, если 
.Пример 3. Решить уравнение
.Решение. Возведем обе части исходного уравнения в куб.
; 
.О т в е т: {-5}.
Запишем равносильность, с помощью которой решаются уравнения данного вида:
.2.2 Уравнения вида
Довольно часто при решении уравнений данного вида учащиеся используют следующую формулировку свойства произведения «Произведение двух сомножителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю». Заметим, что формулировку свойства произведения должна выглядеть следующим образом: « произведение двух сомножителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл».