Иррациональные уравнения (стр. 4 из 10)
Запишем равносильность, с помощью которой решаются уравнения данного вида:
Пример 1. Решить уравнение
.Решение.
.О т в е т: {-2;6}.
Пример 2. Решить уравнение
.Решение. В данном случае уравнение не имеет вида, указанного в заголовке. Следовательно, его необходимо преобразовать. Но сначала найдем ОДЗ переменной
. ОДЗ: 
Преобразуем уравнение к виду
При решении уравнения учащиеся часто необоснованно делят обе части уравнения на выражение, содержащее неизвестное (в данном случае, на
), что приводит к потере корня и приобретению «постороннего». Подобные уравнения, содержащие в обеих частях общий множитель, следует решать переносом всех членов в одну часть и разложением полученного выражения на множители. 
Решим каждое уравнение из совокупности.
; 
. 
(1).Учитывая, что ОДЗ:
получаем, что уравнение (1) равносильно совокупности: 
. Тогда 
, 
не удовлетворяет условию 
, данное уравнение не имеет корней.Следовательно, совокупность примет следующий вид:
Вернемся к системе:
О т в е т: {-3;6}.
2.3 Иррациональные уравнения, которые решаются введением новой переменной
При решении различных видов уравнений: рациональных, тригонометрических, показательных часто используется метод введения новой переменной. Новая переменная в уравнениях иногда действительно очевидна, но иногда ее трудно увидеть, а можно выявить только лишь в процессе каких либо преобразований. Бывает полезно ввести не одну, а две переменные. Видим типичные случаи введения новых переменных в иррациональных уравнениях.
Пример 1. Решить уравнение
Решение. Введем новую переменную. Пусть
, 
, где 
. Получаем, что 
.Тогда 
- не удовлетворяет условию 
Выполним обратную замену.
О т в е т:{34}.
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Уединение радикала и возведение в степень обеих частей уравнения привело бы к громоздкому уравнению. В то же время, если проявить некоторую наблюдательность, то можно заметить, что данное уравнение сводиться к квадратному. Действительно, умножим обе части заданного уравнения на 2, получим, что
Введем новую переменную. Пусть
Получаем, что 
. Тогда 
- не удовлетворяет условию 
, 
Выполним обратную замену.
Тогда 
, 
Т.к. исходное уравнение равносильно уравнению
то проверка полученных корней не нужна.О т в е т: {-2;3,5}.
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Преобразуем данное уравнение.
Введем новую переменную. Пусть,
а 
Получаем, что 
. Тогда 
- не удовлетворяет условию 
.Выполним обратную замену.
.О т в е т:{1}.
2.4 Уравнения вида
, 
, 
Данные уравнения можно решить при помощи основного метода решения иррациональных уравнений (возведение в квадрат обеих частей уравнения), но иногда их можно решить и другими методами.
Рассмотрим уравнение
(1). Пусть 
- корень уравнения (1). Тогда справедливо числовое равенство . Найдем разность чисел 
и 
, обозначив ее 
, и запишем данное равенство в виде 
(2).Используя, что
, запишем равенство (2) в виде 
. Данное равенство означает, что число есть корень уравнения 
(3).Таким образом, уравнение (3) является следствием уравнения (1). Складывая эти два уравнения и умножая полученное уравнение на а, получим уравнение
(4), также являющееся следствием уравнения (1). Возведя уравнение (4) в квадрат и решив полученное уравнение, надо выполнить проверку найденных корней, т.е. проверить, являются ли его корни корнями уравнения (1).