Иррациональные уравнения (стр. 5 из 10)

Замечание. Отметим, что точно также доказывается, что уравнение (4) есть следствие уравнения

.

Пример 1. Решить уравнение

(5).

Решение. Разность подкоренных выражений

и есть

. ,

то уравнение

(6) является следствием исходного уравнения. Тогда, складывая уравнения (5) и (6), получим уравнение (7), также являющееся следствием исходного уравнения (5). Возведем обе части уравнения (6) в квадрат, получим уравнение (8), также являющееся следствием исходного уравнения. Решая уравнение (8), получаем, что ,

Проверкой убеждаемся, что оба этих числа являются корнями исходного уравнения.

О т в е т:

.

Замечание. Уравнение вида

можно решать умножением обеих частей уравнения на некоторое выражение, не принимающее значение ноль (на сопряженное левой части уравнения т.е.

Пример 2. Решить уравнение

(8).

Решение. Т.к.

, то умножим обе части уравнения на выражение , являющееся сопряженным левой части уравнения (8). . После приведения подобных слагаемых получаем уравнение (9), равносильное исходному, т.к. уравнение действительных корней не имеет. Складывая уравнения (8) и (9) получаем, что . Тогда

О т в е т:

.

Замечание. Также уравнения вида

можно решать с помощью ОДЗ уравнения и равносильных переходов от одних уравнений к другим.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Найдем ОДЗ переменной х.

ОДЗ:

Следовательно,

На ОДЗ обе части уравнения положительны, поэтому после возведения в квадрат получим уравнение:

, равносильное для уравнению

Иногда решения уравнения можно найти, решая его на разных числовых промежутках.

Для любого

имеем , а . Следовательно, среди нет решений уравнения .

Для

имеем . Следовательно, для . . Тогда . Т.к. , то является корнем уравнения , равносильному уравнению для этих х.

О т в е т:

.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Преобразуем исходное уравнение.

Возведем обе части данного уравнения в квадрат.

Проверка показывает, что 5 является корнем исходного уравнения.

Замечание. Иногда значительно проще можно решать уравнения вида

, если воспользоваться свойствами монотонности функций, а именно тем, что сумма двух возрастающих функций является возрастающей функцией, и всякая монотонная функция каждое свое значение принимает, лишь при одном значении аргумента. Действительно, функции и - возрастающие. Следовательно, их сумма - возрастающая функция.

Значит, исходное уравнение, если имеет корень, то только один. В этом случае, учитывая, что

, подбором легко найти, что 5 является корнем исходного уравнения.

О т в е т:{5}.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Если обе части исходного уравнения возвести в квадрат, то получится довольно сложное уравнение. Поступим по-другому: преобразуем уравнение к виду:

Решим неравенство системы.

Решением системы является множество:

.

Решим уравнение системы.

Убеждаемся, что 2 принадлежит множеству решений неравенства (рис.1).

Замечание. Если решать данное уравнение возведением обеих частей в квадрат, то необходимо выполнить проверку. 2 - целое число, поэтому при выполнении проверки трудностей не возникает. А что касается значения

, то подстановка его в исходное уравнение приводит к весьма сложным вычислениям. Однако такой подстановки можно избежать, если заметить, что при этом значении правая часть уравнения принимает отрицательное значение: . Тогда как левая часть уравнения отрицательной быть не может. Таким образом, не является корнем уравнения - следствия данного уравнения. Тем более, это значение не может быть корнем исходного уравнения. Итак, корень уравнения - число 2.

О т в е т:{2}.

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Найдем ОДЗ переменной х.

ОДЗ:

Следовательно,

Для любых значений

из ОДЗ, удовлетворяющих условию , т.е. для из промежутка левая часть уравнения отрицательна, а первая – неотрицательна, значит, ни одно из этих решением уравнения быть не может.