Иррациональные уравнения (стр. 6 из 10)

Пусть

. Для таких

обе части уравнения неотрицательны, и поэтому оно равносильно на этом множестве уравнению:

Введем новую переменную.

. Получаем, что

. Тогда

- не удовлетворяет условию

Выполним обратную замену.

;

Тогда

- не удовлетворяет условию

О т в е т:

Пример 7. Решить уравнение

Решение. Найдем ОДЗ переменной х.

ОДЗ:

Следовательно, что

Легко видеть, что

, т.к.

Разделим обе части уравнения на

. Получаем, что

Преобразуем

. Введем новую переменную. Пусть

, а

. Тогда уравнение примет вид:

;

. Тогда

- не удовлетворяет условию

. Выполним обратную замену.

О т в е т:

Пример 8. Решить уравнение

Решение. Преобразуем исходное уравнение.

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат.

Тогда

Итак, проверка показывает, что -1,2 - не является корнем исходного уравнения, а 3 - является.

Замечание. Данное уравнение можно решать и с помощью равносильных переходов, но тогда его решении будет намного сложнее, чем приведенное выше.

О т в е т: {3}.

Пример 9. Решить уравнение

Решение. Заметим, что все квадратные трехчлены положительны относительно

. Перепишем уравнение в виде:

Обозначим для краткости подкоренные выражения через

соответственно. Умножим и разделим левую и правую часть уравнения на сопряженные сомножители. Получаем, что

Вернемся к уравнению.

Второе уравнение совокупности решений не имеет, поскольку оба знаменателя положительны. Следовательно,

Замечание. Также решение данного уравнения можно найти, исследуя его на разных числовых промежутках.

Сначала выделим

соответственно в каждом из подкоренных выражений в правой части уравнения.

Следовательно, исходное уравнение имеет вид:

Обозначим для краткости подкоренные выражения через

соответственно. Т.к. выражение

обращается в ноль при

, то рассмотрим решение данного уравнения при

Если

, то

Следовательно, при

исходное уравнение не имеет корней.

Если

, то

Следовательно, при

исходное уравнение не имеет корней.

Если

, то