Иррациональные уравнения (стр. 7 из 10)
Следовательно, -1 является единственным корнем исходного уравнения.
О т в е т:{-1}.
Замечание. Следовательно, при решении уравнений с радикалами надо уметь пользоваться любым из этих методов и выбирать в каждом случае оптимальный.
3. Не стандартные методы решения иррациональных уравнений
Существуют иррациональные уравнения, которые считаются для школьников обычных образовательных школ задачами повышенной трудности. Для решения таких уравнений лучше применять не традиционные методы, а приемы, которые не совсем привычны для учащихся. В этой главе приводятся решения уравнений основанных на графических соображений, свойствах функции (таких, как монотонность, ограниченность, четность), применении производной и т.д.
3.1 Применение основных свойств функции
3.1.1 Использование области определения уравнения
Иногда знание области определения уравнения позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения непосредственной подстановкой чисел из нее.
Пример 1. Решить уравнение
. 
Решение. Найдем область определения уравнения.ОДЗ:
.Следовательно, данная система решений не имеет.
Т.к. система решений не имеет, то и данное уравнение не имеет корней.
О т в е т:
.Пример 2. Решить уравнение
Решение. Найдем ОДЗ переменной х.
ОДЗ:
.Следовательно,
или 
.Таким образом, решения данного уравнения могут находиться среди найденных двух чисел.
Проверкой убеждаемся, что только 2 является корнем исходного уравнения.
О т в е т: {2}.
3.1.2 Использование области значений уравнений
Пример 1. Решить уравнение
Решение. Т.к.
, следовательно, 
, но 
(правая часть уравнения отрицательна, а левая положительна), значит данное уравнение не имеет решений.О т в е т:
Пример 2. Решить уравнение
.Решение. Т.к.
, то 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
.Следовательно, левая часть уравнения принимает неотрицательное значение только при
. А это значит, что его корнем может быть только значение 5, а может случиться, что уравнение вообще не будет иметь корней. Для решения этого вопроса выполним проверку.Проверка показывает, что 5 является корнем исходного уравнения.
О т в е т: {5}.
3.1.3 Использование монотонности функции
Решение уравнений и неравенств с использованием свойств монотонности основывается на следующих утверждениях.
1. Пусть f(x) - непрерывная и строго монотонная функция на промежутке Q, тогда уравнение f(x)=c, где c - данная константа может иметь не более одного решения на промежутке Q.
2. Пусть f(x) и g(x) - непрерывные на промежутке Q функции, f(x) - строго возрастает, а g(x)- строго убывает на этом промежутке, тогда уравнение f(x)= g(x) может иметь не более одного решения на промежутке Q.
Отметим, что в каждом из случаев промежутки Q могут иметь один из видов:
Пример 1. Решим уравнение
Решение. Найдем ОДЗ переменной х.
ОДЗ:
.Следовательно,
.На ОДЗ функции
и 
непрерывны и строго убывают, следовательно, непрерывна и убывает функция 
. Поэтому каждое свое значение функция h(x) принимает только в одной точке. Т.к. h(2)=2 , то 2 является единственным корнем исходного уравнения.О т в е т: {2}.
3.1.4 Использование ограниченности функции
Если при решении уравнения
удается показать, что для всех 
из некоторого множества М справедливы неравенства 
и 
, то на множестве М уравнение равносильно системе уравнений: 
.Пример 1. Решить уравнение
.Решение. Функции, стоящие в разных частях уравнения, определены на
. Для любого 
. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений 
.Решим второе уравнение системы:
; 
; 
Тогда
Проверка показывает, что 0 является корнем данного уравнения, а -1-не является.
О т в е т:{0}.
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Оценим подкоренные выражения.
Следовательно,
, 
Т.к. первое слагаемое левой части исходного уравнения ограничено снизу единицей, а второе слагаемое-3, то их сумма ограничена снизу 4. Тогда левая часть уравнения становится равной правой части уравнения при
.О т в е т:{2}.
3.2 Применение производной
В вышеприведенных уравнениях были рассмотрены применения некоторых свойств функции, входящих в уравнение. Например, свойства монотонности, ограниченности, существования наибольшего и наименьшего значений и т.д. Иногда вопрос о монотонности, об ограниченности и, в особенности, о нахождении наибольшего и наименьшего значений функции элементарными методами требует трудоемких и тонких исследований, однако он существенно упрощается при применении производной. (Например, не всегда можно догадаться, как и какое неравенство применить из «классических»).
Рассмотрим применение производной при решении уравнений.
3.2.1 Использование монотонности функции
В дальнейшем мы будем пользоваться следующими утверждениями:
1) если функция f(x) имеет положительную производную на промежутке М,
то эта функция возрастает на этом промежутке;2) если функция
непрерывна на промежутке 
и имеет внутри промежутка положительную (отрицательную) производную, то эта функции возрастает ( убывает) на промежутке;