Иррациональные уравнения (стр. 8 из 10)

3) если функция

имеет на интервале (а;b) тождественно равную нулю производную, то эта функция есть постоянная на этом интервале.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Рассмотрим функцию

.

На этом промежутке

непрерывна, внутри его имеет производную:

Эта производная положительна внутри промежутка

. Поэтому функция возрастает на промежутке М. Следовательно, она принимает каждое свое значение в одной точке. А это означает, что данное уравнение имеет не более одного корня. Легко видеть, что -1 является корнем данного уравнения и по сказанному выше других корней не имеет.

О т в е т:

3.2.2 Использование наибольшего и наименьшего значений функции

Справедливы следующие утверждения:

1) наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции, принимаемое на интервале

может достигаться в тех точках интервала , в которых ее производная равна нулю или не существует (каждая такая точка называется критической точкой);

2) чтобы найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной на отрезке

функции, имеющей на интервале (а;b) конечное число критических точек, достаточно вычислить значения функции во всех критических точках, принадлежащих интервалу (а;b), а также в концах отрезка и из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее;

3) если в критической точке

функция непрерывна, а ее производная, проходя через эту точку, меняет знак с «минуса» на «плюс», то точка - точка минимума, а если ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», то - точка максимума.

Пример 1. Решить уравнение

.

Решение. Найдем ОДЗ переменной x.

ОДЗ:

.

Рассмотрим непрерывную функцию

на отрезке [2;4], где D(f)=[2;4].

Функция f(x) на интервале (2;4) имеет производную:

, обращаются в ноль только при х=3.

Т.к. функция f(x)непрерывна на отрезке [2;4], то ее наибольшее и наименьшее значения находятся среди чисел f(3);f(2);f(4). Т.к. f(3)=2;f(2)=f(4)=

, , то наибольшее значение f(x) есть f(3)=2.

Следовательно, данное уравнение имеет единственный корень: 3.

О т в е т:{3}.

4. Смешанные иррациональные уравнения и методы их решения

4.1 Иррациональные уравнения, содержащие двойную иррациональность

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Возведем обе части уравнения в куб.

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат.

Введем новую переменную. Пусть

, тогда . Получаем, что . Тогда .

Выполним обратную замену.

Или .

Тогда

или

Проверка показывает, что

не является корнем данного уравнения, а 1- является.

О т в е т: {1}.

Пример 2. Решить уравнение

Решение.

Введем новую переменную. Пусть

. Тогда

Тогда система примет следующий вид:

О т в е т:

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Введем новую переменную. Пусть

. Тогда . Получаем, что

.

Т.к.

, то данное уравнение равносильно следующему:

Получаем, что

. Учитывая, что , то решения: . Следовательно, .

Выполним обратную замену.

. Тогда

О т в е т: [-4;0].

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Преобразуем подкоренные выражения.

Вернемся к исходному уравнению.

Последнее уравнение решим методом интервалов.

1. Пусть

. Получаем, что

.

Т.к.

, то на данном промежутке уравнение не имеет корней.

2. Пусть

. Получаем, что Равенство верно. Найдем все значения из данного промежутка. . Следовательно,

3. Пусть

. Получаем, что . Т.к. , то на данном промежутке уравнение не имеет корней.

Замечание. Данное уравнение можно решать, выполнив замену переменной

. После решения исходного уравнения относительно переменной , выполнив обратную замену, найдем корень уравнения.

О т в е т: [0;3].

Замечание. Выражение вида

обычно называют двойным радикалом или сложным радикалом.

Если подкоренное выражение представляет собой полный квадрат, то можно в двойном радикале освободиться от внешнего радикала, воспользовавшись равенством

.

Преобразование двойных радикалов.