Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей (стр. 2 из 3)
Где аij найдем по выражению:
или 
Полученная матрица:
Решаем систему:
Полученные корни:
Доопределим
Тогда первая строка будет иметь вид:
Аналогично найдем вторую строку фундаментальной матрицы решений для первого характеристического числа -1. Полученные значения:
Тогда вторая строка будет иметь вид:
Найдем третью и четвертую строки фундаментальной матрицы решений для первого характеристического числа
. Сопряженный корень 
не порождает новых вещественных линейно независимых частных решений.Полученные значения:
Отделяя в нем вещественные и мнимые части, получим два вещественных решения, которые и составляют первую и вторую строки фундаментальной матрицы решений
Аналогично остальные 3:
Запишем найденную фундаментальную матрицу решений:
Умножим транспонированную фундаментальную матрицу решений на вектор свободных коэффициентов
и получим вектор общего решения исходной системы: 
Сделаем проверку найденного решения следующим образом:
Получаем нулевую матрицу-столбец:
что показывает, что общее решение найдено верно.5. Нахождение приближённого решения в виде матричного ряда
Дадим определение матричному ряду и экспоненциальной функции матрицы.
Матричные ряды. Рассмотрим бесконечную последовательность матриц
, 
, 
. Будем говорить, что последовательность матриц сходится к матрице А:
,если
при . Из определения нормы следует, что сходимость матриц эквивалентна поэлементной сходимости. Матричным рядом называется символ 
, причем говорят, что этот ряд сходится к сумме 
, если к f сходится последовательность частичных сумм Sk, где.
Пусть
, тогда можно определить степень матрицы А обычным образом: 
(k раз).Рассмотрим ряд, называемый степенным:
, 
, ,где по определению положим A0 = En.
Экспоненциальная функция матрицы. В качестве примера рассмотрим степенной ряд, равный:
.Так как радиус сходимости соответствующего числового ряда
Равен бесконечности, то ряд сходится при всех А. Сумма ряда называется экспоненциальной функцией (экспонентой) и обозначается через еА, если ехр{А}.
Приближенно вектор решений можно найти как произведение матричного ряда:
и вектора начальных условий y0=[y1,y2, …..yk].
Формула является матричной задачей Коши в приближенном виде.
Экспонентой
матрицы А называется сумма ряда 
где Е – единичная матрица.
Матрица
является решением матричной задачи Коши: 
т.е. является фундаментальной матрицей системы.Найдем разложение матричного ряда последовательно по семи, восьми и десяти первым членам.
для получения разложения по 7 первым членам (аналогично по 8,10 и 10). Результатом будет являться матрица 4*4. Полученные матрицы умножаем на вектор начальных условий S=[1,2,3,4] и получаем приближенное решение в виде матричного ряда.
При увеличении членов разложения ряда вектор приближенных решений будет стремиться к вектору точных решений. Этот факт можно наблюдать, графически сравнивая изображение точного и приближенного решений (см. приложение).
Умножим на соответствующий вектор начальных условий и получим приближенное решение в виде матричного ряда, запишем полученное решение для n=7.
[s1 ≔ 1, s2 ≔ 2, s3 ≔ 3, s4 ≔ 4]
6. Построение общего решения матричным методом
Матричный метод решения системы уравнений (1) основан на непосредственном отыскании фундаментальной матрицы этой системы.
 |
 |
Экспонентой eA матрицы А называется сумма ряда
где Е – единичная матрица.
Свойство матричной экспоненты:
а) если АВ=ВА, то еА+В=еА*еВ= еВ *еА;
б) если А=S-1*B*S, то еА=S-1*eB*S, где матрица S – это матрица преобразования переменных из собственного базиса в базис исходных переменных.
в) матрица y(t)=eAt является решением матричной задачи Коши:
т.е. является фундаментальной матрицей системы (1).
Из свойства в) следует, что решение y(t) системы (1) удовлетворяющее условию y(0)=y0, определяется выражением y(t)=eAt*y0. Таким образом, задача нахождения решений системы уравнений (1) эквивалентна задачи отыскания матрицы eAt по матрице А.
Для вычисления матрицы eAt удобно представить матрицу А в виде:
,где матрица S – это матрица преобразования переменных из собственного базиса в базис исходных переменных, а BА – жорданова форма матрицы А, т.к. eAt= S-1*eBt*S.
Жорданова форма матрицы зависит от вида характеристических чисел.
1. Пусть характеристические числа действительные кратные, тогда Жорданова форма матрицы размерности nxn имеет вид:
где
- действительный корень кратности n.2. Если среди корней характеристического полинома имеются, как действительные разные, так и действительные кратные корни, то матрица В имеет вид:
где
- действительные разные корни, а 
- действительный корень кратности 2.3. При наличии среди корней характеристического полинома корней комплексно-сопряженных Жорданова клетка выглядит следующим образом: