Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей (стр. 1 из 3)
Содержание
1. Введение
2. Постановка задачи
3. Нахождение собственных чисел и построение ФСР
4. Построение фундаментальной матрицы решений методом Эйлера
5. Нахождение приближённого решения в виде матричного ряда
6. Построение общего решения матричным методом
7. Задача Коши для матричного метода
8. Решение неоднородной системы
Графики
Заключение
1. Введение
Рассмотрим систему линейных уравнений первого порядка, записанную в нормальной форме:
(1)где коэффициенты аij, i=1,2,…..,n, к=1,2,…,n, являются постоянными величинами;
yi=yi(t), i=1,2,…,n - неизвестные функции переменной t.
Если все bi(t) (i=1,2,…,n) положить равным нулю (bi(t)=0), то получится однородная система, соответствующая неоднородной системе (1).
Обозначая матрицу системы через А(х), а вектор
через 
тогда систему (1) можем переписать в матричной форме 
(1а)Если
, то получаем соответствующую систему однородных уравнений 
. (2)Всякая совокупность n функций
определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале (a;b), называется решением системы (1) в этом интервале, если она обращает все уравнения системы (1) в тождества:
справедливые при всех значениях x из интервала (a, b). Общее решение неоднородной системы представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной.
2. Постановка задачи
Цель работы: исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей:
; 
; 
Задание
1. Найти собственные числа и построить фундаментальную систему решений (ФСР).
2. Построить фундаментальную матрицу методом Эйлера.
3. Найти приближенное решение в виде матричного ряда.
4. Построить общее решение матричным методом. Исследовать зависимость Жордановой формы матрицы А от ее собственных чисел.
5. Решить задачу Коши.
Начальные условия:
Вектор начальных условий: [1, 2, 3, 4]
t = 0
3. Нахождение собственных чисел и построение ФСР
Однородной линейной системой дифференциальных уравнений называется система уравнений вида:
(3)Если в матрице системы
все 
=const, то данная система называется системой с постоянными коэффициентами или с постоянной матрицей.Фундаментальной системой решений однородной линейной системы уравнений называется базис линейного пространства решений a, т.е. n линейно независимых решений этой системы.
Для построения фундаментальной системы решений дифференциального уравнения необходимо найти собственные числа характеристического полинома, так как в зависимости от их вида (характеристические числа могут быть действительными разными, кратными, комплексными) строится фундаментальная система решений.
Для того чтобы эта система n линейных однородных уравнений с n неизвестными имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы (вронскиан) был равен нулю:
(4)Из этого уравнения степени n определяется значение k, при которых система имеет нетривиальные решения. Уравнение (4) называется характеристическим.
Запишем характеристический полином, для этого воспользуемся функцией CHARPOLY
Для нахождения собственных чисел воспользуемся функцией SOLVE(U, l), которая возвращает характеристические числа матрицы А в вектор l. Получим:
Получилось два действительно корня
и два комплексно-сопряженных корня 
. Следовательно, вектора, образующие фундаментальную матрицу, для данного типа корней будут находиться отдельно для и отдельно для . Запишем ФСР для данных для полученных характеристических чисел:Матрицу y(x), столбцами которой являются решения, образующие фундаментальную систему, называют фундаментальной матрицей.
И общее решение системы будет выглядеть следующим образом:
Найдем решение данной системы с помощью метода Эйлера.
4. Построение фундаментальной матрицы решений методом Эйлера
Метод Эйлера заключается в следующем.
Решение системы (1) находится в виде:
(5)Функция (5) является решением системы (1), если
– собственное значение матрицы А, а а – собственный вектор этой матрицы, соответствующей числу . Если собственные значения 1, 2, … , n матрицы А попарно различны и a1, a2, …, anсоответствующие собственные векторы этой матрицы, то общее решение системы уравнений (1) определяется формулой : 
где С1, С2, … , Сn – произвольные числа.
Для случая кратных корней решение системы принимает вид
(6)где Pi(x)-полиномы степени не выше, чем (к-1), имеющих в совокупности к произвольных коэффициентов. Так что среди коэффициентов этих полиномов к коэффициентов являются произвольными, а оставшиеся к·n-k выражаются через них. Для отыскания коэффициентов полиномов подставим решение (6) в исходную систему уравнений, приравняем коэффициенты при одинаковых функциях. Решим систему по отношению к (k·n-k) коэффициентов. Получим выражение всех коэффициентов через свободные.
Если для кратного собственного значения
матрицы А имеется столько линейно независимых собственных векторов 
, какова его кратность, то ему соответствует k независимых решений исходной системы: 
Если для собственного значения
кратности k имеется только m (m<k) линейно независимых собственных векторов, то решения, соответствующие , можно искать в виде произведения векторного многочлена степени k - m на 
, т.е. в виде: 
Чтобы найти векторы
, надо подставить выражение (4) в систему (3). Приравняв коэффициенты подобных членов в левой и правой частях системы, получим уравнение для нахождения векторов .Для данного задания были найдены следующие собственные значения:
.Построили фундаментальную систему решений:
Найдем 1 строку фундаментальной матрицы решений для характеристического числа
. Запишем третью строку решений в общем виде: