Исследование функций (стр. 2 из 3)

2.1 Достаточные условия экстремума функции

В лекции 1 мы рассмотрели основные теоремы математического анализа, которые широко используются при исследовании функции, построении ее графика.

По теореме Ферма: из дифференцируемости функции f(x) в точке локального экстремума х₀ следует, что f'(x₀) = 0. Данное условие является необходимым условием существования в точке локального экстремума, то есть если в точке х₀ – экстремум функции f(x) и в этой точке существует производная, то f'(x₀) = 0. Точки х₀, в которых f'(x₀) = 0, называются стационарными точками функции. Заметим, что равенство нулю производной

в точке не является достаточным для существования локального экстремума в этой точке.

Пример 1. у = х³, у' = 3х², у'(0) = 0, но

в точке х₀ = 0 нет экстремума.

Точками, подозрительными на экстремум функции f(x) на интервале (a, b), являются точки, в которых производная существует и равна 0 либо она не существует или равна бесконечности. На рисунках функции имеют минимум в точке х₀ = 0:

f'(0) = 0 f'(0) $f'(0) = ¥

Рассмотрим достаточные условия существования в точке локального экстремума, которые позволят ответить на вопрос: «Есть ли в точке экстремум и какой именно – минимум или максимум?».

Теорема 1 (первое достаточное условие экстремума). Пусть непрерывная функция f(x) дифференцируема в некоторой проколотой окрестности U(x₀) точки х₀ (проколотая окрестность означает, что сама точка х₀ выбрасывается из окрестности) и непрерывна в точке х₀. Тогда:

1) если

(1)

то в точке х₀ – локальный максимум;

2) если

(2)

то в точке х₀ – локальный минимум.

Доказательство.

Из неравенств (1) и следствия 3 теоремы Лагранжа (о монотонности функции) следует, что при х < х₀ функция не убывает, а при х > х₀ функция не возрастает, то есть

(3)

Следовательно, из (3) получаем, что в точке х₀ функция имеет локальный максимум.

Аналогично можно рассмотреть неравенства (2) для локального минимума:

f (x) f (x)

f'(х) ³ 0 f'(х) £ 0 f'(х) £ 0 f'(х) ³ 0

Теорема доказана.

Пример 2. Исследовать на монотонность и локальный экстремум функцию

с помощью производной первого порядка.

Решение. Найдем стационарные точки функции:

Þ х² –1 = 0 Þ х₁ = –1, х₂ = 1.

Заметим, что данная функция не определена в точке х = 0. Следовательно:

х	(–¥; –1)	–1	(–1; 0)	0	(0; 1)	1	(1; +¥)
у'	+	0	–	–	–	0	+
у		–2		–		2

max min

То есть функция

возрастает на интервалах (–¥; –1) и (1; +¥), убывает на интервалах (–1; 0), (0; 1), имеет локальный максимум в точке

х₁ = –1, равный у_max (–1) = –2; имеет локальный минимум в точке х₂ = 1,

у_min (1) = 2.

Теорема 2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция f(x) дважды непрерывно-дифференцируема. Если х₀ – стационарная точка

(f'(х₀) = 0), в которой f''(х₀) > 0, то в точке х₀ функция имеет локальный минимум. Если же f''(х₀) < 0, то в точке х₀ функция имеет локальный максимум.

Доказательство. Пусть для определенности f''(х₀) > 0. Тогда

Следовательно:

при х< х₀, f'(х) < 0,

при х> х₀, f'(х) > 0.

Поэтому по теореме 1 в точке х₀ функция имеет локальный минимум.

Теорема доказана.

Пример 3. Исследовать на экстремум функцию

с помощью второй производной.

Решение. В примере 2 для данной функции мы нашли первую производную

и стационарные точки х₁ = –1, х₂ = 1.

Найдем вторую производную данной функции:

Найдем значения второй производной в стационарных точках.

Þ в точке х₁ = –1 функция имеет локальный максимум;

Þ в точке х₂ = 1 функция имеет локальный минимум (по теореме 2).

Заметим, что теорема 1 более универсальна. Теорема 2 позволяет проанализировать на экстремум лишь точки, в которых первая производная равна нулю, в то время как теорема 1 рассматривает три случая: равенство производной нулю, производная не существует, равна бесконечности в подозрительных на экстремум точках.

2.2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба

Пусть функция f(х) задана на интервале (a, b) и х₁, х₂ – любые различные точки этого интервала. Через точки А (х₁, f(х₁)) и В (х₂, f(х₂)) графика функции f(х) проведем прямую, отрезок АВ которой называется хордой. Уравнение этой прямой запишем в виде у = у(х).

Функция f(х) называется выпуклой вниз на интервале (a, b), если для любых точек х₁, х₂Î (a, b), а £ х₁ < х₂£b, хорда АВ лежит не ниже графика этой функции, т. е. если f(х) £ у (х), œ х Î[х₁, х₂] Ì (a, b):

Заметим, что выпуклую вниз функцию иногда называют вогнутой функцией. Аналогично определяется выпуклость функции вверх.

Функция f(х) называется выпуклой вверх на интервале (a, b), если для любых точек х₁, х₂Î (a, b), а £ х₁ < х₂£b, хорда АВ лежит не выше графика этой функции, т. е. если f(х) ³ у (х), œ х Î[х₁, х₂] Ì (a, b):

Теорема 3 (достаточное условие выпуклости). Если f(х) – дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b) и

1) f''(х) > 0, œ х Î(a, b), то на (a, b) функция f(х) выпукла вниз;

2) f''(х) < 0, œ х Î(a, b), то на (a, b) функция f(х) выпукла вверх.

Точка х₀ называется точкой перегиба функцииf(х), если $d – окрест-ность точки х₀, что для всех х Î (х₀ – d, х₀) график функции находится с одной стороны касательной, а для всех х Î (х₀, х₀ + d) – с другой стороны каса-тельной,проведенной к графику функции f(х) в точке х₀, то есть точка х₀ – точка перегиба функции f(х), если при переходе через точку х₀ функция f(х) меняет характер выпуклости:

х₀ – d х₀ х₀ + d

Теорема 4 (необходимое условие существования точки перегиба). Если функция f(х) имеет непрерывную в точке х₀ производную f'' и х₀ – точка перегиба, то f'' (х₀) = 0.

Доказательство.

Если бы f'' (х₀) < 0 или f'' (х₀) > 0, то по теореме 3 в точке х₀ функция f(х) была бы выпукла вверх или вниз. Следовательно, f''(х₀) = 0.

Теорема доказана.

Теорема 5 (достаточное условие перегиба). Если функция f(х) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки х₀ и при переходе через точку х₀ производная f''(х) меняет знак, то точка х₀ является точкой перегиба функции f(х).

Пример 4. Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции у = х³.

Решение. у' = 3х², у'' = 6х = 0 Þ х₀ = 0 – точка, подозрительная на перегиб.

В точке х₀ = 0 функция у = х³ имеет перегиб:

х	(–¥; 0)	0	(0; +¥)
у''	–	0	+
у	выпукла вверх	0	выпукла вниз
точка перегиба

Пример 5. Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции

.

Решение. В примере 3 мы уже находили вторую производную данной функции

. Так как то точек подозрительных на перегиб нет. Рассмотрим промежутки выпуклости:

х	(–¥; 0)	0	(0; +¥)
у''	–	–	+
у	выпукла вверх	–	выпукла вниз
функция не определена

2.3 Асимптоты графика функции