Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений (стр. 2 из 8)

По аналогии с предыдущим для любых р=1,2,… имеем

Поскольку

, то , поэтому для найдётся такой номер , что для будет

Это означает выполнение признака Коши, что гарантирует сходимость последовательности

. Обозначим . Утверждение 2) теоремы доказано.

Для доказательства последнего утверждения воспользуемся полученным выше неравенством

Перейдём здесь к пределу при

. Учитывая непрерывность функции и тот факт, что , получаем требуемый результат – утверждение 3).

Замечание 2. В условиях теоремы решение

уравнения (2.2) в области S является единственным.

Действительно, пусть имеются два решения

, причём . Тогда

,

Получили противоречие, что и требовалось доказать.

Обсудим условие 2) доказанной теоремы. Рассмотрим уравнение (2.2) в покомпонентной записи

и предположим, что функции

непрерывно-дифференцируемы в области S (т.е. существуют и непрерывны в S частные производные

).

Теперь выясним достаточное условие выполнения неравенства 2) в этом случае.

Образуем матрицу Якоби системы функций

.

Далее, будем использовать обобщенную теорему о среднем (обобщение на случай вектор- функции формулы конечных приращений Лагранжа)

Здесь матричная норма согласована с векторной,

, – точка отрезка, соединяющего х, у.

Поскольку S – выпуклое множество, то

. Предположим, что имеет место оценка

, причём . (2.4)

Тогда согласно предыдущему выполняется условие 2) теоремы

.

Таким образом, в случае дифференцируемости условие (2.4) на матрицу Якоби

гарантирует условие сжатия для вектор- функции

2.2 Преобразование Эйткена

Поскольку сходимость метода простых итераций линейная, то она довольно медленна. Поэтому полезно уточнять результат процессом Эйткена по трём последним итерациям, чтобы увеличить точность найденного решения и ускорить процесс его нахождения.

Идею преобразования Эйткена поясним на простом примере.

Погрешность найденных значений на каждой итерации равна,. если

найдем предел x через три значения последних приближений x^k.

.

т. е.

Построим теперь процесс:

, тогда

э

то итерационный процесс для уравнения:

(А)

Рассмотрим порядок сходимости этого процесса

Теперь из (А).

Мы рассматривали процесс простых итераций – процесс первого порядка,

а получили процесс 2 –го порядка.

Легко показать, что если процесс имеет порядок, то схема Эйткена имеет порядок (2r-1). Более того, если процесс. не сходится, то итерационный процесс при выборе начального приближения так, чтобы,. будет сходиться.

2.3 Метод Ньютона

Основная идея метода Ньютона состоит в выделении из уравнений линейных частей, которые являются главными при малых приращениях аргументов. Это позволяет свести исходную задачу к решению последовательности линейных систем.

Рассмотрим систему уравнений

в предположении, что

– непрерывно-дифференцируемые функции.

Полагая

,

прейдём к векторной записи

(3.1)

Опишем общий шаг метода. Пусть уже получено приближение

проведём линеаризацию вектор-функции в окрестности точки - разложим функцию в ряд Тейлора, оставив только два первых члена в силу малости отклонения приближения от корня:

.

Здесь

– матрица Якоби для вектор-функции .

Очередное приближение

определяется как решение линейной системы , т.е.

Если матрица Якоби

не вырожденна, то решение системы линейной системы можно записать в явном виде, что приводит к стандартной формуле метода Ньютона

(3.2)

Таким образом, в основе метода Ньютона лежит идея линеаризации вектор-функции

в окрестности каждого приближения (на каждой итерации), что позволяет свести решение системы (3.1) к последовательному решению линейных систем.

Через уже известное приближение

к корню можно записать, что , где . Тогда после линеаризации получим систему уравнений, линейную относительно . Таким образом, на каждом шаге мы будем находить приращения , и новое приближение к решению по формулам:

– система линейных уравнений