Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений (стр. 3 из 8)

Рассмотрим вопрос о сходимости метода Ньютона. Точное условие сходимости метода Ньютона для решения систем нелинейных уравнений имеет довольно сложный вид. можно отметить очевидный результат: в достаточно малой окрестности корня итерации сходятся, если матрица Якоби невырожденная, причём сходимость квадратичная.

Приведём ряд теорем, выполнение условий которых должно обеспечивать сходимость метода Ньютона.

Пусть в пространстве

выбрана некоторая векторная норма и согласованная с ней матричная норма .

Теорема (о сходимости). Пусть

1) вектор-функция

определена и непрерывно-дифференцируема в области

где

– решение уравнения (3.1),

2) для всех

существует обратная матрица , причём

3)для всех

4)

Тогда метод Ньютона (3.2)

1)

2)

3)

Доказательство. Докажем первое утверждение теоремы с помощью индукции. По условию

. Допустим, что . Поскольку , то . Рассмотрим условие 3) теоремы для

.

Согласно формуле (3.2)

,

Кроме того

. Тогда предыдущее неравенство принимает вид

Следовательно,

Таким образом, имеет место неравенство

(3.3)

По предположению индукции

. Поскольку в силу условия 4)

, то

Это значит, что для

, и шаг индукции реализован. Превое утверждение теоремы доказано.

Продолжим доказательство. Положим

перепишем оценку (3.3) после умножения на в виде . Покажем, что

(3.4)

Будем рассуждать по индукции. При

неравенство (3.4.) очевидно. Допустим, что оно справедливо для некоторого . Тогда

Переход

завершен, т.е. неравенство (3.4) справедливо для всех . Перепишем его в исходных обозначениях

Получили утверждение 3). При этом

, т.е. .

Это значит, что имеет место сходимость:

Замечание 1. Неравенство (3.3) при условии

означает, что последовательность сходится к решению сквадратичной скоростью.

Замечание 2. Поскольку

, то из утверждения 3) следует оценка погрешности метода Ньютона

Теорема. Если f_i(x) непрерывны, вместе с первыми производными в выпуклой области G, содержащей решение системы

и при матрица F_x не вырождена, то существует такая окрестность что при любом метод Ньютона сходится к .

Доказательство. Рассмотрим

Введем и матрицу и матрицу. Очевидно, что F(x,x)= F(x), то есть имеем

(12)

Есть тождества

Тогда.

Вблизи окрестности

для любого найдется такое x⁰, что если,. то

Тогда

На начальное приближение x⁰ наложено труднопроверяемое условие.

Теорема Канторовича. Если функции f_i(x) непрерывны вместе со своими 1 -ми и 2 -ми производными в некоторой выпуклой области G, содержащей точку x⁰ вместе с ее окрестностью и выполнены следующие условия:

в точке x⁰ существует матрица F^-1 такая

то последовательность x^k+1=x^k-f^-1_x(x^k)F(x^k) сходится к

. является единственным решением системы f(x)=0 в области и имеет место оценка

Докажем 3 неравенства

а)

б)

в)

б)

в)

т.е. матрица F^-1_x(x⁰)F_x(x¹) невырождена, и

и