Інтегральне числення (стр. 3 из 3)

рис. 3.2

Приклад:

Дослідити на збіжність інтеграл

оскільки

:

і інтеграл

збігається, то за теоремою 1 заданий інтеграл також збігається.

Теорема 2. Якщо існує границя

то інтеграли (18) і (19) або одночасно обидва збігаються, або одночасно розбігаються.

Ця ознака iнодi виявляється зручнішою, ніж теорема 1, бо не потребує перевірки нерiвностi

.

Приклад:

Дослідити на збіжність інтеграл

оскільки інтеграл

збігається і ,

то заданий інтеграл також збігається.

В теоремах 1 і 2 розглядались невласні інтеграли від невід’ємних функцій. У випадку, коли пiдiнтегральна функція є знакозмінною, справедлива така теорема.

Теорема 3. Якщо інтеграл

збігається, то збігається й інтеграл

.

Приклад:

Дослідити на збіжність інтеграл

:

тут підінтегральна функція знакозмінна; оскільки

,

то заданий інтеграл збігається.

Слід зауважити, що із збіжності інтеграла

не випливає, взагалі кажучи збіжність інтеграла . Ця обставина виправдовує такі означення.

Якщо разом з інтегралом

збігається й інтеграл , то інтеграл називають абсолютно збіжним, а функцію - абсолютно інтегровною на проміжку .

Якщо інтеграл

збігається, а інтеграл розбігається, то інтеграл називають умовно (або неабсолютно) збіжним.

Тепер теорему 3 можна перефразувати так: абсолютно збіжний інтеграл збігається.

Отже, для знакозмінної функції викладені тут міркування дають змогу встановити лише абсолютну збiжнiсть інтеграла. Якщо ж невласний інтеграл збігається умовно, то застосовують більш глибокі ознаки збiжностi.

2. Невласні інтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли другого роду).

Нехай функція

визначена на проміжку . Точку х=bназвемо особливою точкою функції , якщо при (рис. 3.3)

рис. 3.3

Нехай функція

на відрізку при довільному , такому, що тоді існує скінченна границя

, (20)

її називають невласним інтегралом другого роду і позначають так:

(21)

Отже, за означенням

= (22)

У цьому випадку кажуть, що інтеграл (21) існує або збігається. Якщо ж границя (20) нескінченна або не існує, то інтеграл (21) також називають невласним інтегралом, але розбіжним.

Аналогічно якщо х=а - особлива точка (рис. 3.4), невласний інтеграл визначається так:

=

рис. 3.4

Якщо

необмежена в околі якої-небудь внутрішньої точки , то за умови існування обох невласних інтегралів і за означенням покладають (рис. 3.5)

= + .

рис. 3.5

Нарешті, якщо а та b — особливі точки, то за умови існування обох невласних iнтегралiв

і за означенням покладають

= + ,

де с - довільна точка інтервалу (a;b).

Приклад:

Обчислити невласний інтеграл:

= .

Отже інтеграл збіжний.

Сформулюємо тепер ознаки збiжностi для невласних iнтегралiв другого роду.

Теорема 4. Якщо функції

і неперервні на проміжку [a;b), мають особливу точку х= b і задовольняють умову

, то із збіжності інтеграла

випливає збіжність інтеграла , із розбіжності інтеграла випливає розбіжність

.

Приклад:

Дослідити на збіжність інтеграл

: заданий інтеграл збігається, бо і збігається інтеграл .

Теорема 5. Нехай функції

і на проміжку [a;b) неперервні, додатні і мають особливість точці х= b , тоді якщо існує границя

,

то інтеграли

і

або одночасно збігаються, або одночасно розбігаються.

Приклад:

Дослідити на збіжність інтеграл

: функціїf(x)= та = мають особливість у точці х=0. Оскільки = , і інтеграл розбігається, то заданий інтеграл також розбігається.

Теорема 6. Якщо х=b – особлива точка функції

і інтеграл

збігається, то інтеграл

також збігається.

Приклад: дослідити на збіжність інтеграл

.

Заданий інтеграл збігається, тому що

і збігається інтеграл .

4.Ефективність реклами. Логістична крива.

Розвиток багатьох процесів у економіці, в тому числі і на підприємствах, відображає логістична крива, яка характеризується часовою чи іншою залежністю параметрів об’єкта. Дану криву ще називають зигзагоподібною (S-подібною), оскільки вона нагадує букву S.