Історія математики Греції (стр. 3 из 5)
Евдоксова теорія відносин покінчила з арифметичною теорією піфагорійців, застосовної тільки до сумірних величин. Це була чисто геометрична теорія, викладена в строгій аксіоматичній формі, і вона зробила зайвими які-небудь застереження щодо чи несумірності сумірності розглянутих величин.
Сучасна теорія ірраціонального числа, побудована Дедекиндом і Вейерштрассом, майже буквально випливає ходу думок Евдокса, але вона відкриває значно більш широкі перспективи завдяки використанню сучасних математичних методів.
"Метод вичерпування" (термін "вичерпування" уперше з'являється в Григорія Сен Венсана, 1647 р.) був відповіддю школи Платона Зенонові. Метод обходив усі пастки нескінченно малого, попросту усуваючи їх, тому що зводив проблеми, у яких могли з'явитися нескінченно малі, до проблем, розв'язуваним засобами формальної логіки. Наприклад, якщо було потрібно довести, що обсяг V тетраедра дорівнює однієї третини обсягу З призми з тією же підставою і тією же висотою, то доказ полягав у тому, щоб показати абсурдність як допущення, що V
, так і допущення, що 
. Для цього була введена аксіома, відома тепер як аксіома Архімеда. Вона лежить в основі теорії відносин Евдокса, а саме: "про ті величини говорять, що вони знаходяться в деякім відношенні одна до іншої, котрі можуть, будучи помножені, перевершити одна іншу" (Евклід V, Визначення 4). Цей метод, що у греків в епоху Відродження став стандартним методом точного доказу при обчисленні площ і обсягів, був цілком строгий, і його легко перетворити на доказ, що відповідає вимогам сучасної математики.Великим недоліком цього методу було те, що треба було заздалегідь знати результат, щоб його довести, так що математик повинний був спершу прийти до результату менш строгим шляхом, за допомогою проб і спроб.
Є ясні вказівки на те, що такого роду інший метод дійсно використовувався. Ми маємо у своєму розпорядженні лист Архімеда Ератосфену (близько 250 р. до н.е. ), що було виявлено лише в 1906 р. і в який Архімед описує нестрогий, але плідний спосіб одержання результатів. Це лист відомий за назвою "Метод". С. Лур'є висунув припущення, що в ньому виражені погляди математичної школи, що суперничала зі школою Евдокса, виникла, як і та, у період кризи і зв'язана була з Демокрітом, засновником атомістики. Відповідно до теорії Лур'є, школа Демокрита ввела поняття "геометричного атома". Передбачалося, що відрізок прямої, площа, обсяг складаються з великого, але кінцевого числа неподільних "атомів". Обчислення обсягу тіла було підсумовуванням обсягів усіх "атомів", з яких складалося тіло. Ця теорія може показатися безглуздою, якщо не згадати, що деякі математики епохи до Ньютона, особливо Вієт і Кеплер, по суті, користалися такими ж поняттями і вважали окружність складеної з дуже великого числа малюсіньких відрізків. Немає ніяких даних про те, що в стародавності на такій основі був розвитий строгий метод, але наші сучасні поняття межі дали можливість перетворити цю "атомну" теорію в теорію настільки ж строгу, як і метод вичерпування. Навіть у наші дні ми звичайно користуємося таким поняттям "атома" при постановці математичних задач у теорії пружності, чи фізику в хімії, залишаючи строгу теорію з переходами до межі професійним математикам.
Перевага "атомного" методу перед методом вичерпування в тім, що перший полегшує перебування нових результатів. Отже, в античності був вибір між строгим, але відносно марним методом і методом з хибким обґрунтуванням, але більш плідним. Повчально, що майже всі класичні автори застосовують перший метод. Це знов-таки може бути зв'язане з тим, що математика стала коником дозвільного класу, що спирався на рабство, байдужого до винаходів, зі споглядальними інтересами. Можливо і те, що в цьому позначилася перемога в області філософії математики ідеалізму Платона над матеріалізмом Демокріта.
У 334 р. до н.е.. Олександр Македонський почав завоювання Персії. У 323 р., коли він помер у Вавилоні, всей Близьких Схід був у руках греків. Полководці Олександра розділили між собою його завоювання, і згодом виникли три імперії: Єгипет, під владою Птолемеїв; Месопотамія і Сирія, під владою Селевкидів; Македонія, під владою Антигону і його спадкоємців. Навіть у долині Інду були грецькі князі. Почалася епоха еллінізму.
Прямим наслідком походів Олександра було те, що прискорилося проникнення грецької цивілізації у великі райони східного світу. Еллінізувались Єгипет, Месопотамія, частина Індії. Греки заспішили на Близький Схід - торговці, купці, лікарі, мандрівники, найманці, шукачі пригод. У містах - багато хто з них були недавно засновані, що було легко розпізнати по їхніх елліністичних назвах, - військова справа й адміністрація були в руках греків, населення було змішаним, греко-східним. Але еллінізм був істотно міською цивілізацією. Село зберегло своє корінне населення і свій традиційний життєвий уклад. У містах же стара культура Сходу стикалася з імпортованою цивілізацією греків і частково змішалася з нею, хоча завжди залишалося в силі глибоке розходження цих двох світів. Монархи епохи еллінізму користувалися східним звичаям, вирішували східні проблеми керування, але заохочували грецьке мистецтво, грецьку літературу і грецьку науку.
Так і грецька математика була пересаджена в нове середовище. Вона зберегла багато своїх колишніх особливостей, але зазнала впливу від тих адміністративних і астрономічних запитів, що висував Схід. Таке тісне зіткнення грецької науки зі Сходом виявилося винятково плідним, особливо в перші сторіччя. Фактично вся дійсно творча робота, що ми називаємо "грецькою математикою", була пророблена за порівняно короткий термін від 350, до 200 р. до н.е. , від Евдокса до Аполлонія, і навіть досягнення Евдокса відомі нам тільки в тім тлумаченні, у якому ми їх знаходимо в Евкліда й Архімеда. Чудово також, що найбільшого розквіту ця елліністична математика досягла в Єгипті Птолемеєв, а не в Месопотамії, хоча у Вавілоні корінна математика була на більш високому рівні.
Можливо, що це було обумовлено центральним положенням Єгипту тієї епохи в средземноморському світі. Його нова столиця, Олександрія, побудована на березі моря, стала розумовим і господарським центром елліністичного світу. Вавілон же животів, як віддалений центр караванних шляхів, та й зовсім сходив зі сцени - його перемінив Ктесифон-Селевкія, нова столиця імперії Селевкідів. Наскільки відомо, жоден з великих грецьких математиків не був коли-небудь, зв'язаний з Вавілоном. В Антіохії і Пергаме, теж містах Селевкідської імперії, але більш близьких до Середземного моря, були важливі школи грецької науки. Однак корінна вавілонська астрономія і математика саме при Селевкідах досягли свого вищого рівня, і ми тільки тепер починаємо краще розуміти, наскільки істотно був їхній вплив на грецьку астрономію. Афіни стали освітнім центром, а Сіракузи дали Архімеда, найбільшого грецького Математика.
У цю епоху з'явилася професійна вчений-людина, що присвячує своє життя розвитку науки й одержує за це винагороду. Деякі з найбільш видатних представників такої групи людей жили в Олександрії, де Птолемеї побудували великий науковий центр, так званий Музей з його знаменитою бібліотекою. Там зберігалася і множилася наукова і літературна спадщина греків і домоглися при цьому значних успіхів. Одним з перших зв'язаних з Олександрією вчених був Евклід, що є одним з найбільш впливових математиків усіх часів.
Про життя Евкліда ми не маємо ніяких достовірних даних. Ймовірно, він жив у часи першого Птолемея (306-283), якому, відповідно до переказу, він заявив, що до геометрії ні "царської дороги". Його найбільш знаменитий і найбільш видатний здобуток - тринадцять книг його "Початки" (Stoіcheіa), але йому приписують кілька інших менших праць. Серед останніх так звані "Дані" (Data), що містять те, що ми назвали б додатками алгебри до геометрії, але все це викладено строго геометричною мовою. Ми не знаємо, яка частина цих праць належить самому Евкліду і якій частині складають компіляції, але в багатьох місцях виявляється разюча проникливість. Це перші, математичні праці, що дійшли до нас від древніх греків цілком. В історії Західного світу "Початки", після Біблії, ймовірно, найбільше число раз видана і найбільше вивчаєма книга. Після винаходу друкарства з'явилося більше тисячі видань, а до того ця книга, переважно в рукописному виді, була основною при вивченні геометрії. Велика частина нашої шкільної геометрії запозичена часто буквально з перших шести книг "Початки", і традиція Евкліда дотепер тяжіє над нашим елементарним навчанням. Для професійного математика ці книги усе ще мають непереборне зачарування, а їхня логічна побудова вплинула на наукове мислення, мабуть, більше, аніж який би то не був інший здобуток. Виклад Евкліда побудований у виді строго логічних висновків теорем із системи визначень, постулатів і аксіом. У перших чотирьох книгах розглядається геометрія на площині. Виходячи з найбільш простих властивостей ліній і кутів, ми приходимо тут до рівності трикутників, рівності площ, теоремі Піфагора, побудові квадрата, рівновеликого заданому прямокутнику, до золотого перетину, кола і до правильних багатокутників. У книзі V викладена Євдоксова теорія непорівнянних у її чисто геометричній формі, у книзі VІ ця теорія застосована до подоби трикутників. Таке введення подоби - на настільки пізньому етапі - складає одне з найбільш істотних розходжень між викладом планометрії в Евкліда і сучасним. Ці геометричні розгляди завершуються в десятій книзі, де багато хто вважає найбільш важкої в Евкліда. У ній дана геометрична класифікація квадратичних ірраціональностей і коренів квадратних з них, тобто тих чисел, що ми представляємо у виді
. В останніх трьох книгах викладається геометрія в просторі. Від тілесних кутів, обсягів паралелепіпедів, призм і пірамід ми доходимо тут до кулі і до того, що за задумом повинне, видимо, вінчати всю працю: дослідження п'яти правильних ("Платонових") тіл і доказу, що їх існує тільки п'ять.