Канонический вид произвольных линейных преобразований (стр. 2 из 3)
Это будут все многочлены, степень которых не превышает k-1. Присоединенными векторами k-го порядка будут многочлены, степень которых в точности равна k-1.
2.2 Выделение подпространства, в котором преобразование А имеет только одно собственное значение
Пусть l1 – некоторое собственное значение преобразования А. Пространство R можно разложить в прямую сумму двух инвариантных подпространств, в первом из которых преобразование А имеет лишь одно собственное значение l1, а во втором у преобразования А уже нет собственного значения l1.
Не ограничивая общности, можно считать, что l1 = 0.
Действительно, пусть l1¹ 0. Рассмотрим преобразование В = А - l1Е; оно уже имеет собственное значение, равное нулю. Очевидно также, что инвариантные подпространства преобразований А и В совпадают.
Итак, будем считать, что преобразование А имеет собственное значение l= 0. Докажем это утверждение сначала для частного случая, когда в пространстве нет присоединенных векторов, отвечающих этому собственному значению, а есть только собственные векторы.
Нам нужно построить два инвариантных подпространства, прямая сумма которых равна R. В качестве первого из них, в котором l= 0 есть единственное собственное значение, можно взять совокупность N0 всех собственных векторов, отвечающих собственному значению l= 0 или, другими словами, ядро преобразования А.
В качестве второго подпространства возьмем образ М пространства R при преобразовании А, т. е. совокупность векторов у = Ах, где х пробегает все пространство R. Легко видеть, что каждое из этих подпространств инвариантно.
Они дают разложение пространства в прямую сумму. Так как сумма размерностей ядра и образа для любого преобразования А равна n, то достаточно доказать, что пересечение этих подпространств равно нулю.
Предположим, что это не так, т. е. пусть существует вектор у ¹ 0 такой, что уÎМ и уÎN0. Так как уÎМ, то он имеет вид
у = Ах, (4)
где х – некоторый вектор из R. Так как уÎN0, то
Ау = 0, где у ¹ 0. (5)
Равенство (5) означает, что у есть собственный вектор преобразования А, отвечающий собственному значению l= 0, а равенство (4) при этом означает, что х есть присоединенный вектор первого порядка, отвечающий тому же собственному значению. Мы же предположили, что у преобразования А нет присоединенных векторов, отвечающих собственному значению l= 0.
Таким образом доказано, что подпространства М и N0 не имеют общих векторов кроме нулевого.
Вспоминая, что сумма размерностей образа и ядра равна n, мы получаем отсюда, что пространство R разложимо в прямую сумму инвариантных подпространств М и N0:
R = M + N0.
Замечание. Из приведенного выше доказательства видно, что образ и ядро имеют пересечение, отличное от нуля в том и только случае, когда преобразование А имеет присоединенные векторы, отвечающие собственному значению l= 0.
Разобранный частный случай дает нам идею того, как проводить доказательство в общем случае, когда А имеет также и присоединенные векторы, отвечающие собственному значению l= 0. Подпространство N0 при этом оказывается слишком узким, и его естественно расширить за счет добавления всех присоединенных векторов, отвечающие собственному значению l= 0. Второе же подпространство М оказывается при этом слишком большим.
Теорема.Пространство R можно разложить в прямую сумму инвариантных подпространств 
и 
. При этом подпространство состоит только из собственных и присоединенных векторов, отвечающих собственному значению l= 0, а в подпространстве преобразование А обратимо ( т. е. l= 0 не является собственным значением преобразования А в подпространстве ).
Если l1 – некоторое собственное значение преобразования А, то пространство R можно разложить в прямую сумму инвариантных подпространств R1 и
, в первом из которых преобразование А имеет только собственное значение l1, а во втором все собственные значения А отличны от l1.Применяя полученный результат к преобразованию А в пространстве
и к некоторому собственному значению l2 этого преобразования, мы «отщепим» инвариантное подпространство, отвечающее собственному значению l2. Продолжая этот процесс, пока не будут исчерпаны все собственные значения преобразования А, мы получим доказательство следующей теоремы:Теорема.Пусть преобразование А пространства R имеет k различных собственных значений l1, … , lk.. Тогда R можно разложить в прямую сумму k инвариантных подпространств 
, …, 
:
R = 
+ … + 
. (6)
Каждое из подпространств 
состоит только из собственных и присоединенных векторов, отвечающих собственному значению li.
Осталось еще только одна не менее важная задача – выбрать в каждом из этих подпространств базис, в котором матрица преобразования имеет жорданову нормальную форму.
2.3 Приведение к нормальной форме матрицы с одним собственным значением
В случае, если пространство состоит только из собственных векторов, базис в пространстве можно выбирать произвольно и матрица преобразования в этом базисе имеет диагональный вид.
В общем случае неосторожный выбор базиса может запутать картину.
Чтобы выбрать базис, в котором матрица преобразования имеет наиболее простой вид, мы будем тянуть цепочки собственных и присоединенных векторов, выбрав некоторый базис в подпространстве 
и последовательно применяя к векторам этого базиса преобразование А.
Определение.Векторы из пространства R называются относительно линейно независимыми над подпространством R1, если никакая их линейная комбинация, отличная от нуля, не принадлежит R1.
Заметим, что всякие линейно зависимые векторы из R относительно линейно зависимы над любым пространством.
Определение.Базисом пространства R относительно подпространства R1 называется такая система е1, … , еk линейно независимых векторов из R, которая после пополнения каким-нибудь базисом из R1 образует базис во всем пространстве.
Такой базис легко построить. Для этого достаточно будет выбрать какой-нибудь базис в R1, дополнить его до базиса во всем пространстве и затем отбросить вектор исходного базиса из R1. Число векторов в таком относительном базисе равно разности размерностей пространства и подпространства.
Всякую систему относительно линейно независимых векторов над R1 можно дополнить до относительного базиса. Для этого нужно к выбранным векторам добавить какой-нибудь базис подпространства R1. Получится некоторая система векторов из R, которые, как легко проверить, линейно независимы. Чтобы получить относительный базис, нужно дополнить эту систему до базиса во всем пространстве R, а затем отбросить базис подпространства.
Итак, пусть преобразование А в пространстве R имеет только одно собственное значение. Не ограничивая общности можно, предположить, что оно равно нулю.
3. Инвариантные множители
Определение.МатрицыАиА1 = С-1АС, гдеС – произвольная невырожденная матрица, называются подобными.
Если А1подобна матрице А2, то и обратно, А2 подобна А1. Если две матрицы А1 и А2 подобны одной и той же матрице А, то они подобны между собой.
Пусть А – матрица преобразования А в некотором базисе. При переходе к другому базису матрица А заменяется подобной ей матрицей С-1АС, где С – матрица перехода от первого базиса ко второму. Таким образом, подобные матрицы – это матрицы одного и того же линейного преобразования в различных базисах.
Лемма.ЕслиС – произвольная невырожденная матрица, то общие наибольшие делители миноров k-го порядка матрицА - lЕиС(А - lЕ) совпадают. Аналогичное утверждение имеет место и для(А - lЕ)С.
Лемма.У подобных матриц многочлены Dk(l) совпадают.
Так как при переходе от одного базиса к другому матрица линейного преобразования заменяется подобной, то из последней леммы вытекает следующая