Смекни!
smekni.com

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков (стр. 2 из 5)

Имеет частный интеграл y2+αxy+βx2+γy+δx+σ=0, коэффициенты которого выражаются формулами:

α=2 (a1–2),

β=(a1–2)2,

γ=(a1–2) b+2d,

δ=

≠0,

σ=

,

При условиях, что коэффициенты системы связаны соотношениями:

(a1–2) a–a1(a-2) b+c–a1d =0,

2 ((a1–2) a – a1 (a1–2) b–a1d+c) ((a1–2) a+a1d)=0,

и а1≠0, а1≠2, с12=0, a1=b1=c2=1.

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

Пусть система (1) наряду с интегралом (1.3) имеет интеграл вида:

mx+ny+p=0. (1.11)

Будем рассматривать теперь систему:


(1.12)

Согласно формуле (1.4), где L(x, y)=Mx+Ny+P, M, N, P-постоянные, получаем равенство:

m (ax+by+a1x2+2xy)+n (cx+dy+2xy+y2)=(mx+ny+p) (Mx+Ny+P).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях xmynслева и справа, получим равенства:

(a1–M) m=0

(2-N) m+(2-M) n=0 (1.13)

(N-1) n=0

(a–P) m+cn–Mp=0

bm+(dP) nNp=0 (1.14)

Pp=0

Предполагаем, что кривая не проходит через начало координат, тогда p≠0, значит Р=0.

Из равенств (1.13) получаем, что М=а1, N=1,

n=

m, (1.15)

p= (

) m, m≠0.

Подставим эти коэффициенты в уравнение (1.14) и получим ещё одно условие на коэффициенты системы, которое совпадает с условием (1.8), то есть:

(a1–2) aa1(a1–2) b+ca1d=0.

Итак, имеет место следующая теорема:

Теорема 1.2 Система

Имеет частный интеграл mx+ny+p=0, коэффициенты которого выражаются формулами

n=

m, p= (
) m, m≠0,

При условии, что коэффициенты системы связаны соотношением:

(a1–2) a–a1(a1–2) b+c–a1d =0 иа1≠0, а1≠2.

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у двумерной стационарной системы двух частных интегралов в виде кривых первого и второго порядков

В подразделах 1.1–1.2 мы получили что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в виде кривой первого порядка и кривой второго порядка, при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями:

(a1–2) a–a1(a1–2) b+c–a1d =0, (1.16)

2 ((a1–2) a – a1 (a1–2) b–a1d+c) ((a1–2) a+a1d)=0.

Причём а1≠0, а1≠2, в1=в2=с2=1.

1. Рассмотримслучай(a1–2) a–a1(a1–2) b+c–a1d =0, (a1–2) a+a1d=0.

Из этих равенств получили:

а= -

d, d≠0

c=a1(a1–2) b+2a1d.

Так как коэффициент dможно взять любым, неравным нулю, тогда предположим, что b=2d. Из следующих предположений, получаем:

b=2d,

a= -

d, (1.17)

c=2a1(a1–1) d, d≠0, а1≠2.

Получили, что коэффициенты системы (1.1) определяются формулами (1.17), при условиях (1.16), в которых параметры b1=b22=1, а1≠0.

Выражения (1.6), (1.9), (1.15) при условии, что имеют место (1.17), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.11):

α=2 (a1–2),

β=(a1–2)2,

γ=2 (13) d,

δ=2 (а12) (2а1–3) d, (1.18)

σ=(11) d2,

n=

m,

p=

md, m≠0, d≠0, a1≠2, a1≠0.


Имеет место следующая теорема:

Теорема 1.3 Система

Имеет частные интегралы вида:

y2+2 (a1–2) xy+(a1–2)2x2+2 (2a1–3) d+

+2 (a1–2) (2a1–3) dx+(2a1–1) d2=0

и(a1–2) x+y+(2a1–3) d=0,

При условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры а1 и dпо формулам (1.17) и в122=1.

2. Рассмотрим случай:

(a1–2) a–a1(a1–2) b+c–a1d=0.

Выразим из этого условия коэффициент с, получим

с= a1(a1–2) b+a1d – (a1–2) a.

Воспользуемся предположением из первого случая, что в=2d, d≠0, тогда коэффициент с=а1(2а1–3) d – (а1–2) а.

Так как d-любое число, неравное нулю, предположим, что а=2а1d.

Из соотношения (a1–2) aa1(a1–2) b+ca1d=0, при условиях, что b=2d, a=2a1d, d-любое число, d≠0, получим формулы, выражающие коэффициенты системы (1.1) через параметр а1 и коэффициент d, то есть: a=2a1d,

b=2d, (1.19)

c=a1d.

Равенства (1.6) – (1.9) и (1.14) при условии, что имеют место формулы (1.19), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.11):

α=2 (a1–2),

β=(a1–2)2,

γ=2 (а1–1) d,

δ=2 (a1

) (a1–2) d, (1.20)

σ=(a1

)2d2,

n=

m,

p=m

d,a1≠2, d≠0, m≠0.

Теорема 1.4 Система

2a1dx+2dy+a1x2+2xy,

=a1dx+dy+2xy+y2

Имеет частные интегралы вида:


y2+2 (a1–2) xy+(a1–2)2x2+2 (a1–1) dy+2 (a1

) (a1–2) dx+(a1
)2d2=0

и

(a1–2) x+y+(2a1–3) d=0,

При условиях, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры а1 и d по формулам (1.19) и в122=1, а1≠2, а1≠0, d-любое число.

2 Качественное исследование построенных классов систем

2.1 Исследование одной системы из первого класса построенных двумерных стационарных систем

Будем проводить исследование системы в предположении, что коэффициенты её определяются согласно формулам (1.17):

a= -

d, (1.17)

b=2d,

c=2a1(a1–1) d, d≠0, а1≠2,

с учётом в122=1 и предполагая, что параметр а1=1.

Тогда система (1.1) запишется в виде:

dx+2dy+x2+2xy, (2.1)

dy+2xy+y2