Имеет частный интеграл y2+αxy+βx2+γy+δx+σ=0, коэффициенты которого выражаются формулами:
α=2 (a1–2),
β=(a1–2)2,
γ=(a1–2) b+2d,
δ= ≠0,
σ= ,
При условиях, что коэффициенты системы связаны соотношениями:
(a1–2) a–a1(a-2) b+c–a1d =0,
2 ((a1–2) a – a1 (a1–2) b–a1d+c) ((a1–2) a+a1d)=0,
и а1≠0, а1≠2, с1=а2=0, a1=b1=c2=1.
1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка
Пусть система (1) наряду с интегралом (1.3) имеет интеграл вида:
mx+ny+p=0. (1.11)
Будем рассматривать теперь систему:
Согласно формуле (1.4), где L(x, y)=Mx+Ny+P, M, N, P-постоянные, получаем равенство:
m (ax+by+a1x2+2xy)+n (cx+dy+2xy+y2)=(mx+ny+p) (Mx+Ny+P).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях xmynслева и справа, получим равенства:
(a1–M) m=0
(2-N) m+(2-M) n=0 (1.13)
(N-1) n=0
(a–P) m+cn–Mp=0
bm+(d–P) n–Np=0 (1.14)
Pp=0
Предполагаем, что кривая не проходит через начало координат, тогда p≠0, значит Р=0.
Из равенств (1.13) получаем, что М=а1, N=1,
n= m, (1.15)
p= ( ) m, m≠0.
Подставим эти коэффициенты в уравнение (1.14) и получим ещё одно условие на коэффициенты системы, которое совпадает с условием (1.8), то есть:
(a1–2) a–a1(a1–2) b+c–a1d=0.
Итак, имеет место следующая теорема:
Теорема 1.2 Система
Имеет частный интеграл mx+ny+p=0, коэффициенты которого выражаются формулами
n= m, p= ( ) m, m≠0,
При условии, что коэффициенты системы связаны соотношением:
(a1–2) a–a1(a1–2) b+c–a1d =0 иа1≠0, а1≠2.
1.3 Необходимые и достаточные условия существования у двумерной стационарной системы двух частных интегралов в виде кривых первого и второго порядков
В подразделах 1.1–1.2 мы получили что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в виде кривой первого порядка и кривой второго порядка, при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями:
(a1–2) a–a1(a1–2) b+c–a1d =0, (1.16)
2 ((a1–2) a – a1 (a1–2) b–a1d+c) ((a1–2) a+a1d)=0.
Причём а1≠0, а1≠2, в1=в2=с2=1.
1. Рассмотримслучай(a1–2) a–a1(a1–2) b+c–a1d =0, (a1–2) a+a1d=0.
Из этих равенств получили:
а= -
d, d≠0c=a1(a1–2) b+2a1d.
Так как коэффициент dможно взять любым, неравным нулю, тогда предположим, что b=2d. Из следующих предположений, получаем:
b=2d,
a= -
d, (1.17)c=2a1(a1–1) d, d≠0, а1≠2.
Получили, что коэффициенты системы (1.1) определяются формулами (1.17), при условиях (1.16), в которых параметры b1=b2=с2=1, а1≠0.
Выражения (1.6), (1.9), (1.15) при условии, что имеют место (1.17), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.11):
α=2 (a1–2),
β=(a1–2)2,
γ=2 (2а1–3) d,
δ=2 (а1–2) (2а1–3) d, (1.18)
σ=(2а1–1) d2,
n= m,
p= md, m≠0, d≠0, a1≠2, a1≠0.
Имеет место следующая теорема:
Теорема 1.3 Система
Имеет частные интегралы вида:
y2+2 (a1–2) xy+(a1–2)2x2+2 (2a1–3) d+
+2 (a1–2) (2a1–3) dx+(2a1–1) d2=0
и(a1–2) x+y+(2a1–3) d=0,
При условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры а1 и dпо формулам (1.17) и в1=в2=с2=1.
2. Рассмотрим случай:
(a1–2) a–a1(a1–2) b+c–a1d=0.
Выразим из этого условия коэффициент с, получим
с= a1(a1–2) b+a1d – (a1–2) a.
Воспользуемся предположением из первого случая, что в=2d, d≠0, тогда коэффициент с=а1(2а1–3) d – (а1–2) а.
Так как d-любое число, неравное нулю, предположим, что а=2а1d.
Из соотношения (a1–2) a–a1(a1–2) b+c–a1d=0, при условиях, что b=2d, a=2a1d, d-любое число, d≠0, получим формулы, выражающие коэффициенты системы (1.1) через параметр а1 и коэффициент d, то есть: a=2a1d,
b=2d, (1.19)
c=a1d.
Равенства (1.6) – (1.9) и (1.14) при условии, что имеют место формулы (1.19), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.11):
α=2 (a1–2),
β=(a1–2)2,
γ=2 (а1–1) d,
δ=2 (a1– ) (a1–2) d, (1.20)
σ=(a1– )2d2,
n= m,
p=m d,a1≠2, d≠0, m≠0.
Теорема 1.4 Система
2a1dx+2dy+a1x2+2xy,=a1dx+dy+2xy+y2
Имеет частные интегралы вида:
y2+2 (a1–2) xy+(a1–2)2x2+2 (a1–1) dy+2 (a1–
) (a1–2) dx+(a1– )2d2=0и
(a1–2) x+y+(2a1–3) d=0,
При условиях, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры а1 и d по формулам (1.19) и в1=в2 =с2=1, а1≠2, а1≠0, d-любое число.
2 Качественное исследование построенных классов систем
2.1 Исследование одной системы из первого класса построенных двумерных стационарных систем
Будем проводить исследование системы в предположении, что коэффициенты её определяются согласно формулам (1.17):
a= - d, (1.17)
b=2d,
c=2a1(a1–1) d, d≠0, а1≠2,
с учётом в1=в2=с2=1 и предполагая, что параметр а1=1.
Тогда система (1.1) запишется в виде:
dx+2dy+x2+2xy, (2.1) dy+2xy+y2