Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков (стр. 4 из 5)
Так как один корень нулевой, тогда точка О (0,0) является сложным состоянием равновесия (изолированное состояние равновесия), для которого требуется дополнительное исследование. Для определения характера состояния равновесия О (0,0) воспользуемся теоремой [5].
Теорема 2.1 Пусть точка (0,0) – изолированное состояние равновесия системы:
где φ (x, y), ψ(x, y) – полиномы от x, y начиная со второй степени, y=φ(x) – решение уравнения y+Q2(x, y)=0, а разложение функции ψ(x)=P2(x, φ(x)) имеет вид:
Тогда:
1) при m-нечётном и ∆m>0 точка (0,0) – есть топологический узел;
2) при m-нечётном и ∆m<0 точка (0,0) – есть топологическое седло;
3) при m-чётном точка (0,0) есть седло-узел, то есть такое состояние равновесия, каноническая окрестность которого состоит из параболического и двух гиперболических секторов; При этом:
а) если ∆m<0, то внутри гиперболических
секторов заключён отрезок положительной
полуоси ОХ, примыкающий к точке (0,0);
б) если ∆m<0, то – отрезок отрицательной
полуоси ОХ.
Чтобы воспользоваться теоремой, необходимо систему (2.7) привести к виду:
(2.10)Это возможно сделать, воспользовавшись одним из следующих преобразований:
1. если в≠0,
2. если в=0, а=0,
3. если в=0, d=0,
где а, в, с, d– коэффициенты системы (2.7).
Для системы (2.7) воспользуемся следующим преобразованием:
Получим:
Откуда:
Следовательно, можем найти:
Тогда:
Чтобы данную систему привести к системе вида (2.10), сделаем замену
тогда dt= 
dh и получим систему:
Найдём решение уравнения:
y1+
(2.11)в виде ряда по степеням y1:
y1=φ(x1)=c1x1+c2x12+….
Подставим y1=c1x1+c2x12+… в уравнение (2.11), получим:
c1x1+c2x12+ … + 
(c1x1+c2x12+…)2+ 
x1(c1x1+c2x12+…)– 
x12=0.
x11:
с1=0,x12: с2+
с1+ с1 
=0,Следовательно с1=0, с2=
, ….Тогда y1=φ(x1)=
х12+….Находим ψ(х1)=Р2(х1,φ(х1))=
( 
+……)= 
+……..=∆mxm.Получили m=3-нечётное, ∆m>0.
Следовательно, по теореме 2.1 получаем, что точка О (0,0) – топологический узел.
2. Исследуем точку А(
).Составим характеристическое уравнение в точке А(
). 
Отсюда
Px(x, y)=3d+3x+2y,
Py(x, y)=2d+2x,
Qx(x, y)= 
d+2y,
Qy(x, y)=d+2x+2y.
Следовательно, характеристическое уравнение имеет вид:
=0.Характеристическими числами для точки А(
) системы (2.7) будут λ1=–4d, λ2= 
d.Корни λ1, λ2–действительные и одного знака, зависящие от параметра d. Если d<0, тогда точка А(
) – неустойчивый узел; если d>0, тогда точка А( ) – устойчивый узел.Исследуем бесконечно-удалённую часть плоскости системы (2.7) вне концов оси ОУ. Преобразование [1]
переводит систему (2.7) в систему: 
(2.12)где t=zτ, dt=zdτ.
Изучим бесконечно-удалённые точки на оси U, то есть z=0. Получаем:
Следовательно,
u1=0, u2= 
.Таким образом, получили две точки N1(0,0), N2(0,
), которые являются состояниями равновесия. Исследуем характер этих точек обычным способом.1. Исследуем точку N1(0,0).
Составим характеристическое уравнение в точке N1(0,0):
=0,λ1=
, λ2= .Корни λ1,λ2–действительные и различных знаков, следовательно, точка N1(0,0) – седло.
2. Исследуем точку N2(0,
).Составим характеристическое уравнение в точке N2(0,
):Pz= –2u-6dz-4duz,
Pu=–2z-2dz2,
Qz= d-2du-2du2,
Qu= –2u-2dz-4duz.
Характеристическое уравнение имеет вид:
=0.Следовательно, характеристические числа:
λ1=
, λ2= 
.Корни λ1,λ2–действительные, различных знаков, значит точка N2(0,
) является седлом.Исследуем бесконечно-удалённые концы оси ОУ с помощью преобразования [1] x=
, y= 
.Это преобразование переводит (2.7) в систему: