Смекни!
smekni.com

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго порядка (стр. 2 из 7)

Пусть s¹0, тогда из равенств (1.151), (1.153), (1.154) и (1.173) получаем, что

m1=4b2, n1=8b1, a1=2b2, p1=0 (1.18)

А из соотношений (1.161), (1.163) и (1.171) найдем выражения коэффициентов кривой (1.13) через коэффициенты системы (1.1) в следующем виде:


(1.19)

(1.20)

(1.21)

(1.22)

Подставляя коэффициенты s, b, g и d в равенства (1.162) и (1.172), получим два условия, связывающие коэффициенты a, b, c, d, a2, b1, b2:

(1.23)

(1.24)

Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.2 Система (1.14) имеет частный интеграл (1.13), коэффициенты которого выражаются формулами (1.19) - (1.22), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями (1.23), (1.24) и b1¹0, b2¹0, a1=2b2.

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.3), (1.13)

В разделах 1.1-1.2 мы получили, что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в виде кривых второго порядка при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями:

(1.25)

Причем b1¹0, b2¹0, a1¹0, b1a-b2b¹0.

Выражая c из первого уравнения системы (1.25), получим

(1.26)

Подставим (1.26) во второе и третье уравнения системы (1.25). Получим два соотношения, связывающие параметры a, b, d, a2, b1, b2:

Пусть

и

(1.27)

Из первого уравнения системы (1.27) получим

Подставляя

во второе уравнение системы (1.27), найдем

.

Из соотношений (1.25) при условиях (1.27) получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются следующими формулами:

(1.28)

(1.29)

(1.30)

,
,
,
,
(1.31)

Равенства (1.9) - (1.11), (1.19) - (1.22) при условии, что имеют место формулы (1.28) - (1.31), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.13):

a1

(1.32)

a2

(1.33)

a3

(1.34)

s

(1.35)

b

(1.36)

g

(1.37)

d

(1.38)

Теорема 1.3 Система (1.1) имеет частные интегралы вида (1.3) и (1.13) с коэффициентами, определенными формулами (1.32) - (1.38), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.28) - (1.31).

Пусть

(1.39)

Из первого уравнения системы (1.39) найдем

,
.

Подставляя

во второе уравнение системы (1.39), получим равенство:

(1.40)

Поскольку

, то рассмотрим два случая:

, тогда
.

Из соотношений (1.25) при условиях (1.39) и (1.40) получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются следующими формулами:

,
,
(1.41)

,
,
,
,
(1.42)

Равенства (1.9) - (1.11), (1.19) - (1.22) при условии, что имеют место формулы (1.41) - (1.42), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.13):

a1

(1.43)

a2

(1.44)

a3

(1.45)

s

(1.46)

b=0 (1.47)

g

(1.48)

d

(1.49)

Теорема 1.4 Система (1.1) имеет частные интегралы вида (1.3) и (1.13) с коэффициентами, определенными формулами (1.43) - (1.49), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.41) - (1.42).

б)

(1.50)

(1.51)

Из (1.50) найдем

:

Из соотношений (1.25) при условиях (1.39) и (1.50) - (1.51) получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются следующими формулами:


,
- любое число,
(1.52)

,
,
,
,
(1.53)

Равенства (1.9) - (1.11) и (1.19) - (1.22) при условии, что имеют место формулы (1.52) - (1.53), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.13):

a1=0 (1.54)

a2

(1.55)

a

(1.56)

s

(1.57)

b

(1.58)

g

(1.59)

d

(1.60)

Теорема 1.5 Система (1.1) имеет частные интегралы вида (1.3) и (1.13) с коэффициентами, определенными формулами (1.54) - (1.60), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.52) - (1.53).

2. Качественное исследование построенных классов систем

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.28) - (1.31)

Будем проводить наше исследование в предположении, что

,
,
.