Смекни!
smekni.com

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго порядка (стр. 3 из 7)

Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются согласно формулам (1.28) - (1.31), тогда система (1.1) запишется в виде:

(2.1)

Интегральные кривые в этом случае имеют вид:

(2.2)

(2.3)

Найдем состояния равновесия системы (2.1). Приравняв правые части системы нулю и исключив переменную y, получим следующее уравнение для определения абсцисс состояний равновесия:

(2.4)

Из (2.4) получаем, что


,
,
,
.

Ординаты точек покоя имеют вид:

,
,
,
.

Итак, имеем точки

,
,
,
.

Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия

,
,
,
.

Исследуем точку

.

Составим характеристическое уравнение в точке

.

Отсюда

(2.5)


Следовательно, характеристическое уравнение примет вид:

=
=0.

,

Или

.

Характеристическими числами для точки

системы (2.1) будут

.

Корни

- действительные, различных знаков не зависимо от параметра d. Следовательно, точка
- седло.

Исследуем точку

.

Составим характеристическое уравнение в точке

.

Согласно

равенствам (2.5) характеристическое уравнение примет вид:

,

Или

.

Характеристическими числами для точки

системы (2.1) будут

,

то есть

,
.

Корни

- действительные и одного знака, зависящие от параметра d. Если d<0, то точка

-

неустойчивый узел, если d>0, то точка


-

устойчивый узел.

Исследуем точку

.

Применяя равенства (2.5), составим характеристическое уравнение в точке

:

Характеристическими числами для точки

системы (2.1) будут

,

то есть

,
.

Корни

- действительные и одного знака, зависящие от параметра d. Если d<0, то точка
- устойчивый узел, если d>0, то точка
- неустойчивый узел.

Исследуем точку

.

Составим характеристическое уравнение в точке

.

Применяя равенства (2.5), получим:

,

Или

Характеристическими числами для точки


системы (2.1) будут

,

то есть

,
.

Корни

- действительные и различных знаков не зависимо от параметра d. Значит, точка

-

седло.

Исследуем бесконечно - удаленную часть плоскости в конце оси oy. Преобразование

[7]

переводит систему (2.1) в систему:

(2.6)

где

.

Для исследования состояний равновесий на концах оси y, нам необходимо исследовать только точку

. Составим характеристическое уравнение в точке
.

Получим, что

Корни

- действительные и одного знака. Следовательно, точка
- устойчивый узел.

Исследуем бесконечно - удаленную часть плоскости вне концов оси oy преобразованием [7]

Это преобразование систему (2.1) переводит в систему:

(2.7)

где

.

Изучим бесконечно - удаленные точки на оси U, то есть при z=0. Имеем:


Получаем, что

. Следовательно, состояний равновесия вне концов оси oyнету.