Смекни!
smekni.com

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго порядка (стр. 4 из 7)

Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 1.

Таблица 1.

d
x=0
(-∞; 0) седло неуст. узел уст. узел седло уст. узел
(0; +∞) седло уст. узел неуст. узел седло уст. узел

Положение кривых (2.2), (2.3) и расположение относительно их состояний равновесия при d<0 и d>0 дается соответственно рис.1 (а, б).

Поведение траекторий системы в целом при d<0 и d>0 дается рис.4 (а, б) приложения А: Поведение траекторий системы (2.1).

Исследуя вид кривых (2), (2.3) и расположение относительно их состояний равновесия, убеждаемся, что система (2.1) не имеет предельных циклов, так как Воробьев А.П. [5] доказал, что для систем, правые части которых есть полиномы второй степени, предельный цикл может окружать только точку типа фокуса. Учитывая расположение состояний равновесия относительно кривых (1.3) и (1.13), являющиеся интегралами системы (2.1), характер состояния, заключаем, что для системы (2.1) не может существовать предельных циклов, окружающих несколько состояний равновесия.


а (d<0)

б (d>0)

Рис. 1

2.2 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.41) - (1.42)

Будем проводить наше исследование в предположении, что


Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются формулами (1.41) - (1.42). Тогда система (1.1) будет иметь вид:

(2.8)

Интегральные кривые в этом случае имеют вид:

(2.9)

(2.10)

Частный интеграл (1.13) в этом случае преобразовывается в две прямые (2.10)

1. Найдем состояния равновесия системы (2.8). Для этого приравняем правые части системы нулю

Рассмотрим два случая:

Получаем:

Из первого уравнения найдем y:

и подставляя y во второе уравнение получим:

Решая это уравнение, находим:

.

Итак, получаем

,

,

Итак, получаем точки

,
,
,

и прямую x=0, которая является траекторией системы (2.8).

2. Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия

Исследуем точку

.

Составим характеристическое уравнение в точке

.

Отсюда

(2.11)

Следовательно, характеристическое уравнение примет вид:

Характеристическими числами для точки

системы (2.8) будут

,
.

Корни

- действительные и различных знаков не зависимо от параметра d, значит точка
- седло.

Исследуем точку

.

Согласно (2.11) составим характеристическое уравнение в точке

:

Характеристическими числами для точки

системы (2.8) будут

,
.

Корни

- действительные и одного знака, зависящие от параметра d. Если d<0, то точка
- неустойчивый узел, а если d>0, то точка
- устойчивый узел.

3. Исследуем поведение траекторий в окрестности точки

.

Составим характеристическое уравнение согласно (2.11)

.

Характеристическими числами для точки

системы (2.8) будут

,

Корни

- действительные и одного знака, зависящие от параметра d. Если d<0, то точка
- устойчивый узел, если d>0, то точка
- неустойчивый узел.

4. Исследуем поведение траекторий в окрестности точки

.

Согласно (2.11) составим характеристическое уравнение:

Характеристическими числами для точки

системы (2.8) будут

,

Корни

- действительные и разных знаков не зависимо от параметра d, следовательно
- седло.

Исследуем бесконечно - удаленную часть плоскости системы (2.8) вне концов оси oy. Преобразование [7]

переводит систему (2.8) в систему:

(2.12)

где

.

Изучим бесконечно - удаленные точки на оси U, то есть при z=0. Получаем:

Следовательно

.

Таким образом, получаем две точки N1 (0,-1) и N2 (0,1), которые являются состоянием равновесия. Исследуем характер этих точек обычным способом.