Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго порядка (стр. 5 из 7)
Составим характеристическое уравнение в точке N1 (0,-1).
(2.13) 
Имеем:
, 
.Корни
-действительные и различные по знаку, следовательно точка N1 (0,-1) - седло.Исследуем точку N2 (0,1).
Согласно (2.13) составим характеристическое уравнение:
, 
.Корни
-действительные и одного знака, значит точка N2 (0,1) - устойчивый узел.Исследуем концы оси y с помощью преобразования [7]
. Это преобразование переводит систему (2.8) в систему: 
(2.14)где
.Для исследования состояний равновесия на концах оси y, нам необходимо исследовать только точку N3 (0,0). Составим характеристическое уравнение в точке N3 (0,0):
Корни
- действительные и одного знака, значит точка N3 (0,0) - неустойчивый узел.Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 2.
Таблица 2.
| d |  |  |  |  | ∞ | ||
| N1 | N2 | N3 | |||||
| (-∞; 0) | седло | неуст. узел | уст. узел | седло | седло | уст. узел | неуст. узел |
| (0; +∞) | седло | уст. узел | неуст. узел | седло | седло | уст. узел | неуст. узел |
Положение кривых (2.9), (2.10) и расположение относительно их состояний равновесия при d<0 и d>0 дается соответственно рис.2 (а, б).
Поведение траекторий системы в целом при d<0 и d>0 дается рис.5 (а, б) приложения Б: Поведение траекторий системы (2.8).
Вопрос о существовании предельных циклов не возникает, так как Воробьев А.П. [5] доказал, для квадратичной системы предельный цикл не может окружать узел.
а (d<0) б (d>0)
Рис. 2
2.3 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.52) - (1.53)
Будем проводить наше исследование в предположении, что
, 
.Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются формулами (1.52) - (1.53). Тогда система (1.1) будет иметь вид:
(2.15)Интегральные кривые в этом случае имеют вид:
(2.16) 
(2.17)То есть частные интегралы (1.3) и (1.13) преобразовываются в прямые таким образом, что интегральная кривая (2.16) совпадает с одной из прямых интегральной кривой (2.17).
Найдем состояния равновесия системы (2.15). Приравняв правые части системы нулю, и исключив переменную y, получим следующее уравнение для определения абсцисс состояний равновесия:
(2.18)Из (2.18) получаем, что
, 
, 
.Ординаты точек покоя имеют вид:
, 
, 
.Итак, имеем точки
, 
, 
.Исследуем поведения траекторий в окрестностях состояний равновесия
.Исследуем состояние равновесия в точке
.Составим характеристическое уравнение.
Отсюда
(2.19) 
Следовательно, характеристическое уравнение примет вид
Имеем
,Или
.Характеристическими числами для точки
для системы (2.15) будут 
.Корни
- комплексные и зависят от параметра d. Значит, если d<0, то точка - устойчивый фокус, если d>0, то точка - неустойчивый фокус.Исследуем точку
.Согласно (2.19) составим характеристическое уравнение в точке
.Имеем
. 
Характеристическими числами для точки
системы (2.15) будут 
, 
Корни
- действительные и различных знаков не зависимо от параметра d. Следовательно, точка - седло.3. Исследуем точку
.По (2.19) составим характеристическое уравнение в точке
.Получим
.Решая уравнение, получим
,то есть
, Корни
- действительные и одного знака, зависящие от параметра d. Если d<o, то точка - неустойчивый узел, если d>0, то точка - устойчивый узел.Исследуем бесконечно - удаленную часть плоскости вне концов оси oy преобразованием [7]
Это преобразование систему (2.15) переводит в систему: