Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго порядка (стр. 6 из 7)
(2.20)где
.Изучим бесконечно - удаленные точки на оси u, то есть при z=0. Получаем
Следовательно
Итак, имеем две точки N1 (0,2) и N2 (0,-2).
Исследуем характер этих точек обычным способом. Составим характеристическое уравнение в точке N1 (0,2).
(2.21) 
.Следовательно
, 
Воспользуемся параллельным переносом
и подставим z, u в систему (2.20). Получим новую систему:
(2.22)Составим характеристическое уравнение в точке N2 (0,-2)
Характеристическими числами для точки N2 (0,-2), будут
, -сложное состояние равновесия.
Для определения характера состояния равновесия воспользуемся теоремой [2, с. 196-198].
Теорема 2.1. Пусть точка (0,0) - изолированное состояние равновесия системы:
(2.23)
где
, 
есть полиномы от x,y начиная со второй степени, 
- решение уравнения 
, а разложение функции 
имеет вид: 
Тогда
1) при m - нечетном и
m>0 точка (0,0) - есть топологический узел;при m - нечетном и
m<0 точка (0,0) - есть топологическое седло;при m - четном точка (0,0) есть седло - узел, то есть такое состояние равновесия, каноническая окрестность которого состоит из параболистического и двух гиперболических секторов. При этом
если
m<0, то внутри гиперболических секторов заключен отрезок положительной полуоси OX, примыкающий к точке (0,0);если
m>0, то отрезок отрицательной полуоси OX.Чтобы воспользоваться теоремой, необходимо систему (2.22) привести к виду:
Это можно сделать, воспользовавшись одним из следующих преобразований [2, с. 199-201]:
если
, 
если
, 
, 
если
, 
, 
где a, b, c, d- коэффициенты системы (2.23).
Тогда для системы (2.22) возьмем следующее преобразование:
Получим
Тогда
(2.24)Найдем решение уравнения:
в виде ряда по степеням Z1:
Следовательно
Тогда
Подставляя U1 в систему (2.24) получим:
Отсюда
, 
>0.Следовательно, по теореме 2.1 получаем, что точка N2 (0,-2) - седло - узел.
Исследуем концы оси y с помощью преобразования [7]
. Это преобразование переводит систему (2.15) в систему: 
(2.25)где
.Для исследования состояний равновесий на концах оси y, нам необходимо исследовать только точку N3 (0,0). Составим характеристическое уравнение в точке N3 (0,0)
Соответственно характеристическими числами будут
Корни
- действительные и одного знака. Следовательно, точка N3 (0,0) - устойчивый узел.Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 3.
Таблица 3.
| d |  |  |  | ∞ | ||
| N1 | N2 | N3 | ||||
| (-∞; 0) | уст. фокус | седло | неуст. узел | седло | седло-узел | уст. узел |
| (0; +∞) | неуст. фокус | седло | уст. узел | седло | седло-узел | уст. узел |
Положение кривых (2.16), (2.17) и расположение относительно их состояний равновесия при d<0 и d>0 дается соответственно рис.3 (а, б).
Поведение траекторий системы в целом при d<0 и d>0 дается Рис.6 (а, б) приложения В: Поведение траекторий системы (2.15).
Вопрос существования предельных циклов остается открытым.
а (d<0)
б (d>0)
Рис. 3
Заключение
В данной дипломной работе построена квадратичная двумерная стационарная система при условии, что частным интегралом является кривая четвертого порядка, которая распадается на две кривые второго порядка, одна из которых парабола, вторая окружность или гипербола. При этом коэффициенты кривых выражаются через произвольный параметр системы.
Проведено качественное исследование системы. Найдены необходимые и достаточные условия существования у системы двух частных интегралов. В зависимости от коэффициентов были рассмотрены 3 случая. Найдены состояния равновесия трех полученных систем, которые принадлежат интегральным кривым. Исследована бесконечно-удаленная часть плоскости систем, в двух из которых доказано отсутствие предельных циклов. Выяснено поведение сепаратрис седел и построена качественная картина поведения траекторий систем в круге Пуанкаре.