Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго порядка (стр. 1 из 7)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго порядка

Дипломная работа

Исполнитель:

студентка группы М-51 БРАВАЯ Е.Н.

Научный руководитель:

доцент, к. ф-м. н. ФИЛИПЦОВ В.Ф.

Рецензент:

профессор, д. ф-м. н. СТАРОВОЙТОВ Э.И.

Гомель 2003

Реферат

Дипломная работа 38 страниц, 11 источников.

Ключевые слова и словосочетания: квадратичная двумерная стационарная система, частный интеграл, парабола, гипербола, окружность, точка, характеристическое уравнение, характеристическое число, узел, седло, фокус.

Данная работа содержит результаты исследований автора, относящиеся к качественному исследованию в целом двумерной квадратичной стационарной системы.

Основным инструментом исследований является понятие частного интеграла.

Работа состоит из двух глав.

В первой главе проводится построение квадратичных двумерных стационарных систем с заданными интегралами, при этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой тремя соотношениями.

Во второй главе проводится качественное исследование в целом выделенных в первой главе классов систем при фиксированных значениях некоторых параметров.

Содержание

Реферат

Введение

1. Построение квадратичных двумерных стационарных систем

1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде параболы

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде окружности либо гиперболы

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.3), (1.13)

2. Качественное исследование построенных классов систем

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.28) - (1.31)

2.2 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.41) - (1.42)

2.3 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.52) - (1.53)

Заключение

Список использованных источников

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

Введение

Известно, что в элементарных функциях и даже в квадратурах интегрируются очень немногие классы дифференциальных уравнений. В связи с этим появилась необходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду с аналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.

Впервые задача качественного исследования для простейшего случая системы двух дифференциальных уравнений с полной отчетливостью была поставлена А. Пуанкаре [7] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [3, с. 191-211] и уточнены Дж.Д. Биркгофом [4, с.175-179].

(0.1)

Одной из задач качественной теории дифференциальных уравнений является изучение поведения траекторий динамической системы (0.1) на фазовой плоскости в целом в случае, когда P (x,y) и Q (x,y) - аналитические функции. Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравнения объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники.

(0.2)

Имеется много работ, в которых динамические системы изучались в предположении, что их частными интегралами являются алгебраические кривые. Толчком к большинству из них послужила работа Н.П. Еругина [6, с.659 - 670], в которой он дал способ построения систем дифференциальных уравнений, имеющих в качестве своего частного интеграла кривую заданного вида.

Знание одного частного алгебраического интеграла системы (0.1) во многих случаях помогает построить полную качественную картину поведения интегральных кривых в целом. Отметим ряд работ этого характера для систем (0.1), в которых P (x,y) и Q (x,y) - полиномы второй степени.

Н.Н. Баутиным [1, с.181 - 196] и Н.Н. Серебряковой [8, с.160 - 166] полностью исследован характер поведения траекторий системы (0.1), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. В [10, с.732 - 735] Л.А. Черкасом такое исследование проведено для уравнения (0.2) при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка. Яблонский А.И. [11, с.1752 - 1760] и Филипцов В.Ф. [9, с.469-476] изучали квадратичные системы с предположением, что частным интегралом являлись алгебраические кривые четвертого порядка.

В данной работе рассматривается система

(0.3)

и проводится качественное исследование в целом системы (0.3) при условии, что частным интегралом является кривая четвертого порядка, которая распадается на две кривые второго порядка, одна из которых парабола, вторая окружность или гипербола.

Работа состоит из двух глав.

В первой главе проводится построение квадратичных двумерных стационарных систем с заданными интегралами, при этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой тремя соотношениями.

Во второй главе проводится качественное исследование в целом выделенных в первой главе классов систем при фиксированных значениях некоторых параметров.

1. Построение квадратичных двумерных стационарных систем

1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде параболы

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

(1.1)

Пусть система (1.1) имеет частный интеграл вида:

, (1.2)

где F_k (x,y) - однородные полиномы от x и y степени k.

В качестве частного интеграла (1.2) возьмем параболу вида:

F (x,y) ºy+a₁x² +a₂x+a₃ = 0 (1.3)

Будем предполагать, что a₃¹ 0, то есть парабола не проходит через начало координат.

Согласно [10, с.1752-1760] для интеграла (1.3) системы (1.1) имеет место соотношение:

, (1.4)

где L (x,y) = px+my+n, p, m, n- постоянные.

Тогда следуя формуле (1.4) получим равенство:

(2a₁x+a₂) (ax+by+a₁x²+2b₁xy+c₁y²) + (cx+dy+a₂x²+2b₂xy+c₂y²) = = (y+a₁x²+a₂x+a₃) (px+my+n).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x^myⁿслева и справа, получим равенства:

(2a₁-p) a₁= 0 (1.5₁)

(4b₁-m) a₁= 0 (1.5₂)

2a₁c₁= 0 (1.5₃)

(2a-n) a₁+ (a₁-p) a₂+a₂= 0 (1.6₁)

2a₁b+ (2b₁-m) a₂+2b₂+p= 0 (1.6₂)

a₂c₁+c₂-m= 0 (1.6₃)

(a-n) a₂-pa₃n+c= 0 (1.7₁)

a₂b-a₃m+d-n= 0 (1.7₂)

a₃n= 0 (1.7₃)

Пусть a₁¹ 0, тогда из равенств (1.5₁), (1.5₂), (1.5₃), (1.6₃) и (1.7₃) получаем, что

P=2a₁, m=4b₁, c₁=0, c₂=4b₁, n=0 (1.8)

Из соотношений (1.6₁), (1.6₂) и (1.7₁) найдем выражения коэффициентов кривой (1.3) через коэффициенты системы (1.1) в следующем виде:

a₁

, (1.9)

a₂

, (1.10)

a₃

. (1.11)

Равенство (1.7₂) с учетом полученных выражений (1.9) - (1.11), даст условие, связывающее коэффициенты a, b, c, d, a₁, a₂, b₁, b₂:

(1.12)

Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.1 Система (1.1) имеет частный интеграл (1.3), коэффициенты которого выражаются формулами (1.9) - (1.11), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношением (1.12) и c₁= 0, c₂= 4b₁, a₁¹0, 2b₁a-a₁b¹0.

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде окружности либо гиперболы

Пусть теперь система (1.1) наряду с интегралом (1.3) имеет интеграл в виде:

y²+sx²+bx+gy+d=0 (1.13)

Будем рассматривать теперь систему:

(1.14)

Согласно формуле (1.4), где L

(x,y) = m₁x+n₁y+p₁,

m₁, n₁, p₁ - постоянные для системы (1.1), имеем:

(2a₁-m₁) s²= 0 (1.15₁)

(4b₁-n₁) s+2a₁= 0 (1.15₂)

m₁= 4b₂ (1.15₃)

n₁=8b₁ (1.15₄)

(2a-p₁) s+ (a₁-m₁) b+a₂g=0 (1.16₁)

2bs+ (2b₁-n₁) b+ (2b₂-m₁) g+2c= 0 (1.16₂)

(4b₁-n₁) g+2d-p₁= 0 (1.16₃)

(a-p₁) b+cg+m₁d= 0 (1.17₁)

bb+ (d-p₁) g-n₁d= 0 (1.17₂)

p₁d= 0 (1.17₃)

Предположим, что кривая не проходит через начало координат, то есть d¹0.