Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков (стр. 1 из 4)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

Допущена к защите

Зав. кафедрой____________Мироненко В. И.

«____»_________________ 2003 г.

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ В ЦЕЛОМ ДВУМЕРНОЙ КВАДРАТИЧНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В ВИДЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО И ПЕРВОГО ПОРЯДКОВ

Дипломная работа

Исполнитель: студентка группы М-51

_____________________ ПЛИКУС Т.Е.

Научный руководитель: доцент, к.ф-м.н.

_____________________ ФИЛИПЦОВ В.Ф.

Рецензент:доцент, к.ф-м.н.

_____________________ РУЖИЦКАЯ Е.А.

Гомель 2003

Реферат

Дипломная работа состоит из 25 страниц, 11 источников.

Ключевые слова и словосочетания: квадратичная двумерная стационарная система, частный интеграл, кривые третьего и первого порядков, точка, характеристическое уравнение, характеристическое число, узел, седло.

Объект исследования: квадратичная двумерная стационарная система с заданными интегральными кривыми третьего и первого порядков.

Предмет исследования: построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков, нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости.

Цель дипломной работы: качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы.

Основным инструментом исследований является понятие частного интеграла.

Содержание

Введение

1 Построение квадратичных двумерных стационарных систем

1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)

2 Исследование поведения траекторий системы на плоскости

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости

2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости

2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре

Заключение

Список использованных источников

Приложение. Поведение траекторий системы (2.1)

Введение

Известно, что аналитический вид решения очень хорош в случае линейных систем. В случае же нелинейных систем даже тогда, когда решение может быть выражено через элементарные функции, эти выражения могут быть столь сложными, что непосредственный их анализ практически невозможен. В связи с этим появилась необходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду с аналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.

Впервые задача качественного исследования для простейшего случая системы двух дифференциальных уравнений

(0.1)

с полной отчетливостью была поставлена А. Пуанкаре [7] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [3,с.191-211] и уточнены Дж. Д. Биркгофом [4,с. 175-179].

Одной из задач качественной теории дифференциальных уравнений является изучение поведения траекторий динамической системы (0.1) на фазовой плоскости в целом в случае, когда P(x,y) и Q(x,y) – аналитические функции. Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравнения объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники.

(0.2)

Н.Н. Баутиным [1, с. 181- 196] и Н. Н. Серебряковой [8, с. 160- 166] полностью исследован характер поведения траекторий системы (0.1), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. В [10, с. 732- 735] Л. А. Черкасом такое исследование проведено для уравнения (0.2) при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка. Яблонский А. И. [11, с. 1752- 1760] и Филипцов В. Ф. [9, с. 469-476] изучали квадратичные системы с предположением, что частным интегралом являлись алгебраические кривые четвертого порядка.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

(0.3)

В настоящей работе проводится качественное исследование в целом системы (0.3) при условии, что она имеет два частных интеграла вида:

x³+a₁x²y+b₁xy²+g₁y³+a₂x²+b₂xy+g₂y²+b₃x+g₃y+d=0, (0.4)

mx+ny+p=0 (0.5)

в предположении, что коэффициенты кривых (0.4), (0.5) и системы (0.3) вещественные.

Работа состоит из двух глав.

В первой главе проводится построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой тремя соотношениями.

Во второй главе проводится качественное исследование системы, включающее в себя нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости при фиксированных значениях коэффициентов системы.

1 ПОСТРОЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ДВУМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

(1.1)

Согласно [10, с. 1752-1760], если система, правые части которой есть полиномы n-ой степени, имеет частный интеграл вида:

, (1.2)

где F_k(x,y) – однородные полиномы от x и y степени k, то выполняется равенство:

. (1.3)

Пусть частный интеграл (1.2) имеет вид:

F(x,y)ºx³+a₁x²y+b₁xy²+g₁y³+a₂x²+b₂xy+g₂y²+b₃x+g₃y+d=0 (1.4)

Для интеграла (1.4) системы (1.1) имеет место соотношение (1.3),где L(x,y) = fx+gy+k, f, g, k – постоянные:

(3x2+2a₁xy+b₁y²+2a₂x+b₂y+b₃)(ax+by+a₁x²+2b₁xy+c₁y²)+(a₁x²+

2b₁xy+3g₁y²+b₂x+2g₂y+g₃)(cx+dy+a₂x²+2b₂xy+c₂y²)=(x3+a₁x²y+b₁xy²+ (1.5)

g₁y³+a₂x²+b₂xy+g₂y²+b₃x+g₃y+d)(fx+gy+k).

Приравнивая в (1.5) коэффициенты при одинаковых степенях выражений

x^myⁿслева и справа, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.4) и системы (1.1):

3a₁₊a₁a₂-f=0, (1.6₁)

(2a₁+2b₂-f)a₁+2a₂b₁-g+6b₁=0, (1.6₂)

2a₁c₁+(2b₁+2c₂-g)b₁+(6b₂-f)g₁=0, (1.6₃)

(4b₁+c₂-g)a₁+(a₁+4b₂-f)b₁+3a₂g₁+3c₁=0, (1.6₄)

c₁b₁+(3c₂-g)g₁=0; (1.6₅)

ca₁+(2a₁-f)a₂+a₂b₂-k+3a=0, (1.7₁)

(2a+d-k)a₁+2cb1+(4b₁-g)a2+(a₁+2b₂-f)b2+2a₂g₂+3b=0, (1.7₂)

2ba₁+(a+2d-k)b₁+3cg₁+2c₁a₂+(2b₁+c₂-g)b₂+(4b₂-f)g₂=0, (1.7₃)

bb₁+(3d-k)g₁+c₁b₂+(2c₂-g)g₂=0; (1.7₄)

(2a-k)a₂+cb₂+(a₁-f)b₃+a₂g₃=0, (1.8₁)

2ba₂+(a+d-k)b₂+2cg₂+(2b₁-g)b₃+(2b₂-f)g₃=0, (1.8₂)

bb₂+(2d-k)g₂+c₁b₃+(c₂-g)g₃=0; (1.8₃)

(a-k)b₃+cg₃-df=0, (1.9₁)

bb₃+(d-k)g₃-dg=0, (1.9₂)

dk=0. (1.9₃)

Будем предполагать, что коэффициенты кривой (1.4) и системы (1.1) вещественные и кривая не проходит через начало координат, тогда d=0. Согласно (1.9₃) в этом случае k=0.

Будем рассматривать частный случай системы (1.1), т.е. будем предполагать, что a₂=c₁=0, а коэффициенты a₁, b₁, g₁ интегральной кривой (1.4) обращаются в нуль.

Уравнения (1.6₁) – (1.9₃) при этих предположениях будут иметь вид:

3a₁-f=0, (1.10₁)

g+6b₁=0; (1.10₂)

(2a₁-f)a₂+3a=0, (1.11₁)

(4b₁-g)a2+(a₁+2b₂-f)b2+3b=0, (1.11₂)

(2b₁+c₂-g)b₂+(4b₂-f)g₂=0, (1.11₃)

(2c₂-g)g₂=0; (1.11₄)

2aa₂+cb₂+(a₁-f)b₃=0, (1.12₁)

2ba₂+(a+d)b₂+2cg₂+(2b₁-g)b₃+(2b₂-f)g₃=0, (1.12₂)

bb₂+2dg₂+(c₂-g)g₃=0; (1.12₃)

ab₃+cg₃-df=0, (1.13₁)

bb₃+dg₃-dg=0. (1.13₂)

Из условий (1.10₁) и (1.10₂) получаем, что

f = 2a_1, g = 6b₁.

Из условия (1.11₄) имеем

(2c₂-g)g₂=0.

Пусть g₂

, тогда