Квадратные уравнения и уравнения высших порядков (стр. 2 из 3)

Итак, корни квадратного уравнения ax² + 2kx + c = 0 можно вычислять по формуле:

x_1,2=

Пример:

5х² - 2

х + 1 = 0

x_1,2=

Преимущество этой формулы в том, что в квадрат возводится не число b, а его половина, вычитается из этого квадрата не 4ac, а просто ac и, наконец, в том, что в знаменателе содержится не 2a, а просто a.

В случае если квадратное уравнение приведенное, то наша формула будет выглядеть так:

x_1,2=-k ±

.

Пример:

х² – 4х + 3 = 0

х_1,2 = 2 ±

х₁ = 3

х₂ = 1

Ответ: х₁ = 3, х₂ = 1.

2.3 Теорема Виета

Очень любопытное свойство корней квадратного уравнения обнаружил французский математик Франсуа Виет. Это свойство назвали теорема Виета:

Чтобы числа x₁ и x₂ являлись корнями уравнения:

ax² + bx + c = 0

необходимо и достаточно выполнения равенства

x₁ + x₂ = -b/aи x₁x₂ = c/a

Теорема Виета позволяет судить о знаках и абсолютной величине квадратного уравнения

А именно

x² + bx + c = 0

1. Если b>0, c>0 то оба корня отрицательны.

2. Если b<0, c>0 то оба корня положительны.

3. Если b>0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.

4. Если b<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного.

2.4 Квадратные уравнения частного характера

1) Если a + b + c = 0 в уравнении ax² + bx + c = 0, то

х₁=1, а х₂ =

.

Доказательство:

В уравнении ax² + bx + c = 0, его корни

x_1,2 =

(1).

Представим b из равенства a + b + c = 0

Подставим это выражение в формулу (1):

х_1,2=

=

Если рассмотрим по отдельности два корня уравнения, получим:

1) х₁=

2) х₂=

Отсюда следует: х₁=1, а х₂ =

.

1. Пример:

2х² - 3х + 1 = 0

a = 2, b = -3, c = 1.

a + b + c = 0, следовательно

х₁ = 1

х₂ = ½

2. Пример:

418х² - 1254х + 836 = 0

Этот пример очень тяжело решить через дискриминант, но, зная выше приведенную формулу его с легкостью можно решить.

a = 418, b = -1254, c = 836.

х₁ = 1 х₂ = 2

2) Если a - b + c = 0, в уравнении ax² + bx + c = 0, то:

х₁=-1, а х₂ =-

.

Доказательство:

Рассмотрим уравнение ax² + bx + c = 0, из него следует, что:

x_1,2 =

(2).

Представим b из равенства a - b + c = 0

b = a + c, подставим в формулу (2):

x_1,2=

=

Получаем два выражения:

1) х₁=

2) х₂=

Эта формула похожа на предыдущую, но она тоже важна, т.к. часто встречаются примеры такого типа.

1) Пример:

2х² + 3х + 1 = 0

a = 2, b = 3, c = 1.

a - b + c = 0, следовательно

х₁ = -1

х₂ = -1/2

2) Пример:

Ответ: x₁ = -1; х₂ = -

3) Метод “переброски”

Корни квадратных уравнений y² + by + аc = 0 и ax² + bx + c = 0 связанны соотношениями:

х₁ =

и х₂ =

Доказательство:

а) Рассмотрим уравнение ax² + bx + c = 0

x_1,2 =

=

б) Рассмотрим уравнение y² + by + аc = 0

y_1,2 =

Заметим, что дискриминанты у обоих решений равны, сравним корни этих двух уравнений. Они отличаются друг от друга на старший коэффициент, корни первого уравнения меньше корней второго на а. Используя теорему Виета и выше приведенное правило, нетрудно решать разнообразные уравнения.

Пример:

Имеем произвольное квадратное уравнение

10х² - 11х + 3 = 0

Преобразуем это уравнение по приведенному правилу

y² - 11y + 30 = 0

Получим приведенное квадратное уравнение, которое можно достаточно легко решить с помощью теоремы Виета.

Пусть y₁ и y₂ корни уравнения y² - 11y + 30 = 0

y₁y₂ = 30 y₁ = 6

y₁ + y₂ = 11 y₂ = 5

Зная, что корни этих уравнений отличны друг от друга на а, то

х₁ = 6/10 = 0,6

х₂ = 5/10 = 0,5

В некоторых случаях удобно решать сначала не данное уравнение ax² + bx + c = 0, а приведенное y² + by + аc = 0, которое получается из данного «переброской» коэффициента а, а затем разделить найденный корни на а для нахождения исходного уравнения.

2.5 Формула Виета для многочленов (уравнений) высших степеней

Формулы, выведенные Виетом для квадратных уравнений, верны и для многочленов высших степеней.

Пусть многочлен

P(x) = a₀xⁿ+ a₁x^n-1 + … +a_n

Имеет n различных корней x₁ , x₂ …, x_n.

В этом случае он имеет разложение на множители вида:

a₀xⁿ+ a₁x^n-1 +…+ a_n = a₀( x – x₁)( x – x₂)…(x – x_n)

Разделим обе части этого равенства на a₀ ≠ 0 и раскроем в первой части скобки. Получим равенство:

xⁿ+ (

)x^n-1+ … + ( ) = xⁿ – (x₁ + x₂ + … + x_n) x^n-1+ ( x₁x₂ + x₂x₃ + … + x_n-1x_n)x^n-2+ … +(-1)ⁿx₁x₂ … x_n

Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняется равенство

x₁ + x₂ + … + x_n= -

x₁x₂ + x₂x₃ + … + x_n-1x_n=

x₁x₂ … x_n= (-1)ⁿ

Например, для многочленов третей степени

a₀x³ + a₁x² + a₂x + a₃

Имеем тождества

x₁ + x₂ + x₃ = -

x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ =

x₁x₂x₃ = -

Как и для квадратных уравнений, эту формулу называют формулами Виета. Левые части этих формул являются симметрическими многочленами от корней x₁ , x₂ …, x_nданного уравнения, а правые части выражаются через коэффициент многочлена.

2.6 Уравнения, сводимые к квадратным (биквадратные)

К квадратным уравнениям сводятся уравнения четвертой степени:

ax⁴ + bx² + c = 0,

называемые биквадратными, причем, а ≠ 0.

Достаточно положить в этом уравнении х² = y, следовательно,

ay² + by + c = 0

найдём корни полученного квадратного уравнения

y_1,2 =

Чтобы найти сразу корни х_1,x_2,x_3,x₄ , заменим y на x и получим

x² =

х_1,2,3,4 =

.

Если уравнение четвёртой степени имеет х₁, то имеет и корень х₂ = -х₁,

Если имеет х₃, то х₄ = - х₃. Сумма корней такого уравнения равна нулю.

Пример:

2х⁴- 9x² + 4 = 0

Подставим уравнение в формулу корней биквадратных уравнений:

х_1,2,3,4 =

,

зная, что х₁ = -х₂, а х₃ = -х₄, то:

х_1,2 =

х_3,4 =

Ответ: х_1,2 = ±2; х_1,2 =