2.7 Исследование биквадратных уравнений
Возьмем биквадратное уравнение
ax4 + bx2 + c = 0,
где a, b, c –действительные числа, причем а > 0. Введя вспомогательную неизвестную y = x², исследуем корни данного уравнения, и результаты занесем в таблицу (см. приложение №1)
2.8 Формула Кардано
Если воспользоваться современной символикой, то вывод формулы Кардано может иметь такой вид:
х =
Эта формула определяет корни общего уравнения третей степени:
ax3 + 3bx2 + 3cx + d = 0.
Эта формула очень громоздкая и сложная (она содержит несколько сложныных радикалов). Она не всегда примениться, т.к. очень сложна для заполнения.
2.9 Симметричные уравнения третей степени
Симметричными уравнениями третей степени называют уравнения вида
ax³ + bx² +bx + a = 0 (1)
или
ax³ + bx² - bx – a = 0 (2)
где a и b – заданные числа, причём a¹0.
Покажем, как решаются уравнение (1).
Имеем:
ax³ + bx² + bx + a = a(x³ + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1) (x² - x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1) (ax² +(b – a)x + a).
Получаем, что уравнение (1) равносильно уравнению
(x + 1) (ax² +(b – a)x + a) = 0.
Значит его корнями, будут корни уравнения
ax² +(b – a)x + a = 0
и число x = -1
аналогично решается уравнение (2)
ax³ + bx² - bx - a = a(x³ - 1) + bx(x - 1) = a(x - 1) (x² + x + 1) + bx(x - 1) = (x - 1) ( ax2 + ax + a + bx ) = (x - 1) (ax² +(b + a)x + a).
1) Пример:
2x³ + 3x² - 3x – 2 = 0
Ясно, что x1 = 1, а
х2 и х3 корни уравнения 2x² + 5x + 2 = 0 ,
Найдем их через дискриминант:
x1,2 =
x2 = -
, x3 = -22) Пример:
5х³ + 21х² + 21х + 5 = 0
Ясно, что x1 = -1, а
х2 и х3 корни уравнения 5x² + 26x + 5 = 0 ,
Найдем их через дискриминант:
x1,2 =
x2 = -5, x3 = -0,2.
2.10 Возвратные уравнения
Возвратное уравнение – алгебраическое уравнение
а0хn + a1xn – 1 + … + an – 1x + an =0,
в котором ак = an – k, где k = 0, 1, 2 …n, причем, а ≠ 0.
Задачу нахождения корней возвратного уравнения сводят к задаче нахождения решений алгебраического уравнения меньшей степени. Термин возвратные уравнения был введён Л. Эйлером.
Уравнение четвёртой степени вида:
ax4 + bx3 + cx2 + bmx + am² = 0, (a ≠ 0).
Приведя это уравнение к виду
a (x² + m²/x²) + b(x + m/x) + c = 0, и y = x + m/x и y² - 2m = x² + m²/x²,
откуда уравнение приводится к квадратному
ay² + by + (c-2am) = 0.
Пример:
3х4 + 5х3 – 14х2 – 10х + 12 = 0
Разделив его на х2, получим эквивалентное уравнение
3х2 + 5х – 14 – 5 ×
, илиГде
и3(y2 - 4) + 5y – 14 = 0, откуда
y1 =
y2 = -2, следовательно и , откудах1,2 =
х3,4 =
Ответ: х1,2 =
х3,4 = .Частным случаем возвратных уравнений являются симметричные уравнения. О симметричных уравнениях третей степени мы говорили ранее, но существуют симметричные уравнения четвертой степени.
Симметричные уравнения четвертой степени.
1) Если m = 1, то это симметричное уравнение первого рода, имеющее вид
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 и решающееся новой подстановкой
y =
2) Если m = -1, то это симметричное уравнение второго рода, имеющее вид
ax4 + bx3 + cx2 - bx + a = 0 и решающееся новой подстановкой
y =
2.11 Схема Горнера
Для деления многочленов применяется правило “деления углом”, или схема Горнера.С этой целью располагают многочлены по убывающим степеням х и находят старший член частного Q(x) из условия, что при умножении его на старший член делителя D(x) получается старший член делимого P(x). Найденный член частного умножают, затем на делитель и вычитают из делимого. Старший член частного определяют из условия, что он при умножении на старший член делителя даёт старший член многочлена разности и т.д. Процесс продолжается до тех пор, пока степень разности не окажется меньше степени делителя.(см. приложение №2).
В случае уравнений R = 0 этот алгоритм заменяется схемой Горнера.
Пример:
х3 + 4х2 + х – 6 = 0
Находим делители свободного члена ±1; ± 2; ± 3; ± 6.
Левую часть уравнения обозначим f(x). Очевидно, что f(1) = 0, x1 = 1. Делим f(x) на х – 1. (см. приложение №3)
Значит,
х3 + 4х2 + х – 6 = (х – 1) (х2 + 5х + 6)
Последний множитель обозначим через Q(x). Решаем уравнение Q(x) = 0.
х2,3 =
Ответ: 1; -2; -3.
Заключение
В первой главе была рассмотрена история возникновения квадратных уравнений и уравнений высших порядков. Различные уравнения решали более 25 веков назад. Множество способов решения таких уравнений были созданы в Вавилоне, Индии. Потребность в уравнениях была и будет.
Во второй главе приведены различные способы решения (нахождения корней) квадратных уравнений и уравнений высших порядков. В основном это способы решения для уравнений частного характера, то есть к каждой группе уравнений, объединенных какими- либо общими свойствами или видом, приведено особое правило, которое применяется только для этой группы уравнений. Этот способ (подбора к каждому уравнению собственной формулы) гораздо легче, чем нахождение корней через дискриминант.
В этом реферате достигнуты все цели и выполнены основные задачи, доказаны и разучены новые, ранее неизвестные формулы. Мы проработали много вариантов примеров перед тем, как занести их в реферат, по этому мы уже представляем, как решать некоторые уравнения. Каждое решение пригодится нам в дальнейшей учебе. Этот реферат помог классифицировать старые знания и познать новые.
Список литературы
1. Виленкин Н.Я. “Алгебра для 8 класса”, М., 1995.
2. Галицкий М.Л. “Сборник задач по алгебре”, М. 2002.
3. Даан-Дальмедико Д. “Пути и лабиринты”, М., 1986.
4. Звавич Л.И. “Алгебра 8 класс”, М., 2002.
5. Кушнир И.А. “Уравнения”, Киев 1996.
6. Савин Ю.П. “Энциклопедический словарь юного математика”, М., 1985.
7. Мордкович А.Г. “Алгебра 8 класс”, М., 2003.
8. Худобин А.И. “Сборник задач по алгебре”, М., 1973.
9. Шарыгин И.Ф. “Факультативный курс по алгебре”, М., 1989.
Приложение 1
Исследование биквадратных уравнений
C | b | Выводы | ||
О корнях вспомогательного уравнения ay² +by+c=0 | О корнях данного уравнения a(x²)² +bx² +c=0 | |||
C < 0 | b- любое действительное число | y < 0 ; y > 01 2 | x = ±Öy1,2 2 | |
C > 0 | b<0 | D > 0 | y > 01,2 | x = ±Öy1,2,3,4 1,2 |
D = 0 | y > 0 | x = ±Öy1,2 . | ||
D < 0 | Нет корней | Нет корней | ||
b ≥ 0 | y < 01,2 | Нет корней | ||
Нет корней | Нет корней | |||
y > 0 ; y < 01 2 | x = ±Öy1,2 1 | |||
C = 0 | b > 0 | y = 0 | x = 0 | |
b = 0 | y = 0 | x = 0 | ||
b < 0 | y = 0 | x = 0 |
Приложение 2
Деление многочлена на многочлен «уголком»
A0 | a1 | a2 | ... | an | c |
+ | |||||
b0c | b1c | … | bn-1c | ||
B0 | b1 | b2 | … | bn | = R (остаток) |
Приложение 3
Схема Горнера
Корень | |||||
1 | 4 | 1 | -6 | 1 | |
х1 = 1 | |||||
сносим | 5 | 6 | 0 | ||
1 | 1×1 +4 = 5 | 5×1 + 1 = 6 | 6×1 – 6 = 0 | ||
корень | |||||
х1 = 1 |