Квадратные уравнения и уравнения высших порядков (стр. 1 из 3)
Министерство образования Российской Федерации
Муниципальное общеобразовательное учреждение
"Средняя общеобразовательная школа №22"
Квадратные уравнения и уравнения высших порядков
Выполнили:
Ученики 8 "Б" класса
Кузнецов Евгений и Руди Алексей
Руководитель:
Зенина Алевтина Дмитриевна
преподаватель математики
Тюмень
2005
Оглавление
Введение
Глава 1. История квадратных уравнений и уравнений высших порядков
1.1 Уравнения в Древнем Вавилоне
1.2 Уравнения арабов
1.3 Уравнения в Индии
Глава 2. Теория квадратные уравнения и уравнения высших порядков
2.1 Основные понятия
2.2 Формулы четного коэффициента при х
2.3 Теорема Виета
2.4 Квадратные уравнения частного характера
2.5 Теорема Виета для многочленов (уравнений) высших степеней
2.6 Уравнения, сводимые к квадратным (биквадратные)
2.7 Исследование биквадратных уравнений
2.8 Формулы Кордано
2.9 Симметричные уравнения третьей степени
2.10 Возвратные уравнения
2.11 Схема Горнера
Заключение
Список используемой литературы
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Введение
Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее число задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.).
В этом реферате хотелось бы отобразить формулы и способы решения различных уравнений. Для этого приводятся уравнения, которые не изучаются в школьной программе. В основном это уравнения частного характера и уравнения высших степеней. Чтобы раскрыть эту тему приводятся доказательства этих формул.
Задачи нашего реферата:
- улучшить навыки решения уравнений
- наработать новые способы решения уравнений
- выучить некоторые новые способы и формулы для решения этих уравнений.
Объект исследования - элементарная алгебра Предмет исследования уравнения. Выбор этой темы основывался на том, что уравнения есть как в программе начальной, так и в каждом последующем классе общеобразовательных школ, лицеев, колледжей. Многие геометрические задачи, задачи по физике, химии и биологии решаются с помощью уравнений. Уравнения решали двадцать пять веков назад. Они создаются и сегодня – как для использования в учебном процессе, так и для конкурсных экзаменов в вузы, для олимпиад самого высокого уровня.
Глава 1. История квадратных уравнений и уравнений высших порядков
1.1 Уравнения в Древнем Вавилоне
Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведённых над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучается общие свойства действий над величинами.
Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земельными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Как было сказано ранее, квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилонянами. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются как неполные, так и полные квадратные уравнения.
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решением, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.
Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратного уравнения.
1.2 Уравнения арабов
Некоторые способы решения уравнений как квадратных, так и уравнений высших степеней были выведены арабами. Так известный арабский математик Ал-Хорезми в своей книге «Ал - джабар» описал многие способы решения различных уравнений. Их особенность была в том, что Ал-Хорезми применял сложные радикалы для нахождения корней (решений) уравнений. Необходимость в решении таких уравнений была нужна в вопросах о разделе наследства.
1.3 Уравнения в Индии
Квадратные уравнения решали и в Индии. Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII век), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой конической форме:
aх² + bx= c, где a > 0
В этом уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.
В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи ». Задачи часто облекались в стихотворную форму.
Различные уравнения как квадратные, так и уравнения высших степеней решались нашими далекими предками. Эти уравнения решали в самых разных и отдаленных друг от друга странах. Потребность в уравнениях была велика. Уравнения применялись в строительстве, в военных делах, и в бытовых ситуациях.
Глава 2. Квадратные уравнения и уравнения высших порядков
2.1 Основные понятия
Квадратным уравнением называют уравнения вида
ax²+bx+c = 0,
где коэффициенты a, b, c – любые действительные числа, причём a ≠ 0.
Квадратное уравнение называют приведённым, если его старший коэффициент равен 1.
Пример:
x2 + 2x + 6 = 0.
Квадратное уравнение называют не приведенным, если старший коэффициент отличен от 1.
Пример:
2x2 + 8x + 3 = 0.
Полное квадратное уравнение - квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых, иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и c отличны от нуля.
Пример:
3x2 + 4x + 2 = 0.
Неполное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, у которого хотя бы один коэффициент b, c равен нулю.
Таким образом, выделяют три вида неполных квадратных уравнений:
1) ax² = 0 (имеет два совпадающих корня x = 0).
2) ax² + bx = 0 (имеет два корня x1 = 0 и x2 = -
)Пример:
x2 + 5x = 0
x(x+5) =0
x1= 0, x2 = -5.
Ответ: x1=0, x2= -5.
3) ax² + c = 0
Если –
<0 - уравнение не имеет корней.Пример:
5x2 + 6 = 0
Ответ: уравнение не имеет корней.
Если –
> 0, то x1,2 = ± 
Пример:
2x2 – 6 = 0
х2=±
х1,2=±
Ответ: х1,2=±
Любое квадратное уравнение можно решить через дискриминант (b² - 4ac). Обычно выражение b² - 4ac обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнение ax² +bx + c = 0 (или дискриминантом квадратного трёх члена ax² + bx + c)
Пример:
х2 +14x – 23 = 0
D = b2 – 4ac = 144 + 92 = 256
x1,2 =
x1 =
x2 =
Ответ: x1 = 1, x2 = - 15.
В зависимости от дискриминанта уравнение может иметь или не иметь решение.
1) Если D < 0, то не имеет решения.
2) Если D = 0, то уравнение имеет два совпадающих решения x1,2 =
3) Если D > 0, то имеет два решения, находящиеся по формуле:
x1,2 =
2.2 Формулы четного коэффициента при х
Мы привыкли к тому, что корни квадратного уравнения
ax² + bx + c = 0 находятся по формуле
x1,2 =
Но математики никогда не пройдут мимо возможности облегчить себе вычисления. Они обнаружили, что эту формулу можно упростить в случае, когда коэффициент b имеет вид b = 2k, в частности, если b есть четное число.
В самом деле, пусть у квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 коэффициент bимеет вид b = 2k. Подставив в нашу формулу число 2k вместо b, получим:
x1,2=
=
