Минимальная нормальная подгруппа группы
--- неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы ; --- является максимальной подгруппой группы .Если
и --- подгруппы группы , то: --- прямое произведение подгрупп и ; --- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы ; --- и изоморфны; --- регулярное сплетение подгрупп и .Подгруппы
и группы называются перестановочными, если .Группу
называют: -замкнутой, если силовская -подгруппа группы нормальна в ; -нильпотентной, если -холлова подгруппа группы нормальна в ; -разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы; -сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;
разрешимой, если существует номер
такой, что ;сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Монолитическая группа --- неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу.
-замкнутая группа --- группа, обладающая нормальной холловской -подгруппой. -специальная группа --- группа, обладающая нильпотентной нормальной холловской -подгруппой. -разложимая группа --- группа, являющаяся одновременно -специальной и -замкнутой.Группа Шмидта --- это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
Добавлением к подгруппе
группы называется такая подгруппа из , что .Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп.
Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.
Ряд подгрупп
называется:субнормальным, если
для любого ;нормальным, если
для любого ;главным, если
является минимальной нормальной подгруппой в для всех .Класс групп --- совокупность групп, содержащая с каждой своей группой
и все ей изоморфные группы. -группа --- группа, принадлежащая классу групп .Формация --- класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.
Если
--- класс групп, то: --- множество всех простых делителей порядков всех групп из ; --- множество всех тех простых чисел , для которых ; --- формация, порожденная классом ; --- насыщенная формация, порожденная классом ; --- класс всех групп , представимых в виде