Смекни!
smekni.com

Классы конечных групп F, замкнутые о взаимно простых индексов относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп (стр. 3 из 11)

где

,
;

;

--- класс всех минимальных не
-групп, т. е. групп не принадлежащих
, но все собственные подгруппы которых принадлежат
;

--- класс всех
-групп из
;

--- класс всех конечных групп;

--- класс всех разрешимых конечных групп;

--- класс всех
-групп;

--- класс всех разрешимых
-групп;

--- класс всех разрешимых
-групп;

--- класс всех нильпотентных групп;

--- класс всех разрешимых групп с нильпотентной длиной
.

Если

и
--- классы групп, то:

.

Если

--- класс групп и
--- группа, то:

--- пересечение всех нормальных подгрупп
из
таких, что
;

--- произведение всех нормальных
-подгрупп группы
.

Если

и
--- формации, то:

--- произведение формаций;

--- пересечение всех
-абнормальных максимальных подгрупп группы
.

Если

--- насыщенная формация, то:

--- существенная характеристика формации
.

-абнормальной называется максимальная подгруппа
группы
, если

, где

--- некоторая непустая формация.

-гиперцентральной подгруппой в
называется разрешимая нормальная подгруппа
группы
, если
обладает субнормальным рядом
таким, что

(1) каждый фактор

является главным фактором группы
;

(2) если порядок фактора

есть степень простого числа
, то
.

---
-гиперцентр группы
, т. е. произведение всех
-гиперцентральных подгрупп группы
.

Введение

Известно, что формация всех сверхразрешимых групп не замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп, но замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп взаимно простых индексов. В связи с этим можно сформулировать следующую проблему.

Проблема. Классифицировать наследственные насыщенные формации

с тем свойством, что любая группа
, где
и
---
-субнормальные
-подгруппы взаимно простых индексов, принадлежит
.

Именно изучению таких формаций посвящена данная работа. В частности, в классе конечных разрешимых групп получено полное решение данной проблемы.


1 Некоторые базисные леммы

В данном разделе доказаны леммы, которые существенным образом используются при доказательстве основного раздела данной главы.

1.1 Лемма [18-A]. Пусть

--- насыщенная формация,
принадлежит
и имеет нормальную силовскую
-подгруппу
для некоторого простого числа
. Тогда справедливы следующие утверждения:

1)

;

2)

, где
--- любое дополнение к
в
.

Доказательство. Так как

, то
, а значит,
. Так как
и формация
насыщенная, то
не содержится в
. Так как
--- элементарная группа, то по теореме 2.2.16,
обладает
-допустимым дополнением
в
. Тогда
,
. Если
, то
отлична от
и, значит, принадлежит
. Но тогда, ввиду равенства
, имеем