где
, ; ; --- класс всех минимальных не -групп, т. е. групп не принадлежащих , но все собственные подгруппы которых принадлежат ; --- класс всех -групп из ; --- класс всех конечных групп; --- класс всех разрешимых конечных групп; --- класс всех -групп; --- класс всех разрешимых -групп; --- класс всех разрешимых -групп; --- класс всех нильпотентных групп; --- класс всех разрешимых групп с нильпотентной длиной .Если
и --- классы групп, то: .Если
--- класс групп и --- группа, то: --- пересечение всех нормальных подгрупп из таких, что ; --- произведение всех нормальных -подгрупп группы .Если
и --- формации, то:Если
--- насыщенная формация, то: --- существенная характеристика формации . -абнормальной называется максимальная подгруппа группы , если , где--- некоторая непустая формация.
-гиперцентральной подгруппой в называется разрешимая нормальная подгруппа группы , если обладает субнормальным рядом таким, что(1) каждый фактор
является главным фактором группы ;(2) если порядок фактора
есть степень простого числа , то . --- -гиперцентр группы , т. е. произведение всех -гиперцентральных подгрупп группы .Известно, что формация всех сверхразрешимых групп не замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп, но замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп взаимно простых индексов. В связи с этим можно сформулировать следующую проблему.
Проблема. Классифицировать наследственные насыщенные формации
с тем свойством, что любая группа , где и --- -субнормальные -подгруппы взаимно простых индексов, принадлежит .Именно изучению таких формаций посвящена данная работа. В частности, в классе конечных разрешимых групп получено полное решение данной проблемы.
В данном разделе доказаны леммы, которые существенным образом используются при доказательстве основного раздела данной главы.
1.1 Лемма [18-A]. Пусть
--- насыщенная формация, принадлежит и имеет нормальную силовскую -подгруппу для некоторого простого числа . Тогда справедливы следующие утверждения:1)
;2)
, где --- любое дополнение к в .Доказательство. Так как
, то , а значит, . Так как и формация насыщенная, то не содержится в . Так как --- элементарная группа, то по теореме 2.2.16, обладает -допустимым дополнением в . Тогда , . Если , то отлична от и, значит, принадлежит . Но тогда, ввиду равенства , имеем