отсюда следует
и . Тем самым доказано, что .Докажем утверждение 2). Очевидно, что
является -корадикалом и единственной минимальной нормальной подгруппой группы , причем . Поэтому, ввиду теоремы 2.2.17,Очевидно,
. Если , тоотсюда
. Значит, . Лемма доказана.Пусть
и --- произвольные классы групп. Следуя [55], обозначим через --- множество всех групп, у которых все -подгруппы принадлежат .Если
--- локальный экран, то через обозначим локальную функцию, обладающую равенством для любого простого числа .1.2 Лемма [18-A]. Пусть
и --- некоторые классы групп. Тогда справедливы следующие утверждения:1)
--- наследственный класс;2)
;3) если
, то ;4) если
, то --- класс всех групп;5) если
--- формация, а --- насыщенный гомоморф, то --- формация;6) если
, , --- некоторые классы групп и --- наследственный класс, то в том и только в том случае, когда ;7) если
и --- гомоморфы и , то .Доказательство. Доказательство утверждений 1), 2), 3) и 4) следует непосредственно из определения класса групп
.Пусть
, --- нормальная подгруппа группы и --- -подгруппа из . Пусть --- добавление к в . Покажем, что . Предположим противное. Пусть не входит в . Тогда обладает максимальной подгруппой , не содержащей . Поэтому , а значит, , что противоречит определению добавления.Так как
--- насыщенный гомоморф, то . Но тогда и . Значит, класс замкнут относительно гомоморфных образов.Пусть
. Пусть --- -подгруппа из . Тогда , а значит ввиду определения класса , имеемТак как
--- формация и , то отсюда получаем, что . Таким образом, .Докажем утверждение 6). Пусть
, . Если не входит в , то получается, что каждая -подгруппа из принадлежит , а значит, . Получили противоречие. Поэтому .Покажем, что
. Предположим, что множество непусто, и выберем в нем группу наименьшего порядка. Тогда не входит в . Пусть --- собственная подгруппа из . Так как классы и --- наследственные классы, то . Ввиду минимальности имеем . Значит, . Получили противоречие. Поэтому .