Смекни!
smekni.com

Классы конечных групп F, замкнутые о взаимно простых индексов относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп (стр. 4 из 11)

отсюда следует

и
. Тем самым доказано, что
.

Докажем утверждение 2). Очевидно, что

является
-корадикалом и единственной минимальной нормальной подгруппой группы
, причем
. Поэтому, ввиду теоремы 2.2.17,


Очевидно,

. Если
, то

отсюда

. Значит,
. Лемма доказана.

Пусть

и
--- произвольные классы групп. Следуя [55], обозначим через
--- множество всех групп, у которых все
-подгруппы принадлежат
.

Если

--- локальный экран, то через
обозначим локальную функцию, обладающую равенством
для любого простого числа
.

1.2 Лемма [18-A]. Пусть

и
--- некоторые классы групп. Тогда справедливы следующие утверждения:

1)

--- наследственный класс;

2)

;

3) если

, то
;

4) если

, то
--- класс всех групп;

5) если

--- формация, а
--- насыщенный гомоморф, то
--- формация;

6) если

,
,
--- некоторые классы групп и
--- наследственный класс, то
в том и только в том случае, когда
;

7) если

и
--- гомоморфы и
, то
.

Доказательство. Доказательство утверждений 1), 2), 3) и 4) следует непосредственно из определения класса групп

.

Пусть

,
--- нормальная подгруппа группы
и
---
-подгруппа из
. Пусть
--- добавление к
в
. Покажем, что
. Предположим противное. Пусть
не входит в
. Тогда
обладает максимальной подгруппой
, не содержащей
. Поэтому
, а значит,
, что противоречит определению добавления.

Так как

--- насыщенный гомоморф, то
. Но тогда
и
. Значит, класс
замкнут относительно гомоморфных образов.

Пусть

. Пусть
---
-подгруппа из
. Тогда
, а значит ввиду определения класса
, имеем

Так как

--- формация и
, то отсюда получаем, что
. Таким образом,
.

Докажем утверждение 6). Пусть

,
. Если
не входит в
, то получается, что каждая
-подгруппа из
принадлежит
, а значит,
. Получили противоречие. Поэтому
.

Покажем, что

. Предположим, что множество
непусто, и выберем в нем группу
наименьшего порядка. Тогда
не входит в
. Пусть
--- собственная подгруппа из
. Так как классы
и
--- наследственные классы, то
. Ввиду минимальности
имеем
. Значит,
. Получили противоречие. Поэтому
.