Докажем утверждение 7). Пусть
и --- -подгруппа из группы . Отсюда следует, что , . А это значит, что . Отсюда нетрудно заметить, что . Следовательно, . Итак, . Лемма доказана.1.3 Лемма [18-A]. Пусть
--- наследственная насыщенная формация, --- ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда и только тогда -корадикал любой минимальной не -группы является силовской подгруппой, когда:1)
;2) формация
имеет полный локальный экран такой , что для любого из .Доказательство. Необходимость. Пусть
--- максимальный внутренний локальный экран формации . Пусть --- произвольное простое число из . Так как --- насыщенный гомоморф, то по лемме 4.1.2, --- формация.Пусть
--- формация, имеющая локальный экран такой, что для любого из . Покажем , что . Согласно теореме 2.2.13, --- наследственная формация для любого из . Отсюда нетрудно заметить, что для любого из . А это значит, что .Пусть
--- группа минимального порядка из . Так как --- наследственная формация, то очевидно, что --- наследственная формация. А это значит, что и . Покажем, что --- полный локальный экран, т. е. для любого из . Действительно. Пусть --- произвольная группа из . Отсюда . Пусть --- произвольная -группа из . Так как , то . Отсюда . Так как --- полный экран, то . А это значит, что . Следовательно, . Отсюда нетрудно заметить, что . Теперь, согласно теореме 2.2.5, , где --- единственная минимальная нормальная подгруппа группы , --- -группа и . Так как и , то . Отсюда . Противоречие. Итак, . Покажем, что для любого из . Пусть и --- -группа. Пусть --- произвольная -подгруппа из . Тогда . Отсюда . А это значит, что . Противоречие.Достаточность. Пусть
--- произвольная минимальная не -группа. Так как разрешима, то по теореме 2.2.5,