Смекни!
smekni.com

Классы конечных групп F, замкнутые о взаимно простых индексов относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп (стр. 5 из 11)

Докажем утверждение 7). Пусть

и
---
-подгруппа из группы
. Отсюда следует, что
,
. А это значит, что
. Отсюда нетрудно заметить, что
. Следовательно,
. Итак,
. Лемма доказана.

1.3 Лемма [18-A]. Пусть

--- наследственная насыщенная формация,
--- ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда и только тогда
-корадикал любой минимальной не
-группы является силовской подгруппой, когда:

1)

;

2) формация

имеет полный локальный экран
такой
, что
для любого
из
.

Доказательство. Необходимость. Пусть

--- максимальный внутренний локальный экран формации
. Пусть
--- произвольное простое число из
. Так как
--- насыщенный гомоморф, то по лемме 4.1.2,
--- формация.

Пусть

--- формация, имеющая локальный экран
такой, что
для любого
из
. Покажем , что
. Согласно теореме 2.2.13,
--- наследственная формация для любого
из
. Отсюда нетрудно заметить, что
для любого
из
. А это значит, что
.

Пусть

--- группа минимального порядка из
. Так как
--- наследственная формация, то очевидно, что
--- наследственная формация. А это значит, что
и
. Покажем, что
--- полный локальный экран, т. е.
для любого
из
. Действительно. Пусть
--- произвольная группа из
. Отсюда
. Пусть
--- произвольная
-группа из
. Так как
, то
. Отсюда
. Так как
--- полный экран, то
. А это значит, что
. Следовательно,
. Отсюда нетрудно заметить, что
. Теперь, согласно теореме 2.2.5,
, где
--- единственная минимальная нормальная подгруппа группы
,
---
-группа и
. Так как
и
, то
. Отсюда
. Противоречие. Итак,
. Покажем, что
для любого
из
. Пусть
и
---
-группа. Пусть
--- произвольная
-подгруппа из
. Тогда
. Отсюда
. А это значит, что
. Противоречие.

Достаточность. Пусть

--- произвольная минимальная не
-группа. Так как
разрешима, то по теореме 2.2.5,