Смекни!
smekni.com

Классы конечных групп F, замкнутые о взаимно простых индексов относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп (стр. 6 из 11)

где

---
-группа,
. Согласно условию,
---
-группа. А это значит, что
---
-замкнутая группа. Но тогда,
---
-замкнутая группа. Согласно лемме 4.1.1,
--- силовская подгруппа группы
. Лемма доказана.

1.4 Лемма [18-A]. Пусть

--- наследственная насыщенная формация,
--- ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда и только тогда любая минимальная не
-группа бипримарна и
-замкнута, где
, когда:

1)

;

2) формация

имеет полный локальный экран
такой, что
и любая группа из
является примарной
-группой для любого простого
из
.

Доказательство. Необходимость. Пусть

--- произвольная минимальная не
-группа. Согласно условию,
--- бипримарная
-замкнутая группа, где
. По лемме 4.1.1,
. Согласно лемме 4.1.3, формация
имеет полный локальный экран
такой, что
и
для любого простого
из
. Покажем, что любая группа из
примарна. Предположим противное. Тогда существует группа
и
. Пусть
--- группа наименьшего порядка такая, что
. Очевидно, что
и
. Нетрудно заметить, что
и
имеет единственную минимальную нормальную подгруппу. Значит, по лемме 2.2.18, существует точный неприводимый
-модуль
, где
--- поле из
элементов.

Пусть

. Покажем, что
. Поскольку
и
, то
.

Пусть

--- собственная подгруппа из
. Покажем, что
. Пусть
. Если
, то
. Следовательно,
. Пусть
. Тогда
--- собственная подгруппа из
. А это значит, что
и
. Так как
и
--- наследственная формация, то
. Но тогда и
, а значит и
.

Пусть теперь

. Так как
, то
и
. Отсюда следует, что
. Итак,
. Cогласно условию,
бипримарна, что невозможно, т. к.
.

Достаточность. Пусть

--- произвольная минимальная не
-группа. Согласно условию,
разрешима. По теореме 2.2.5,

где

---
-группа,
.

Согласно условию,

--- примарная
-группа. А это значит, что
--- бипримарная
-замкнутая группа. Но тогда
--- бипримарная
-замкнутая группа. Лемма доказана.

2 Критерий принадлежности групп, факторизуемых обобщенно субнормальными
-подгруппами, индексы которыхвзаимно просты, наследственно насыщенным формациям

В данном разделе в классе конечных разрешимых групп получена классификация наследственных насыщенных формаций

, замкнутых относительно произведения обобщенно субнормальных
-подгрупп, индексы которых взаимно просты.