Классы конечных групп F, замкнутые о взаимно простых индексов относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп (стр. 7 из 11)

2.1 Теорема [18-A]. Пусть

--- наследственная насыщенная формация, --- ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) формация

содержит любую группу , где и --- -субнормальные -подгруппы и индексы , взаимно просты;

2) любая минимальная не

-группа либо бипримарная -замкнутая группа , либо группа простого порядка;

3) формация

имеет полный локальный экран такой, что и любая группа из является примарной -группой для любого простого из .

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).

Пусть

--- произвольная минимальная не -группа. Предположим, что , где --- характеристика формации . Покажем, что --- группа простого порядка. Пусть . Тогда существует простое число , . Так как , то , что невозможно. Итак, --- примарная -группа. Так как , то, очевидно, что .

Пусть теперь

. Рассмотрим случай, когда .

Покажем, что

имеет единственную минимальную нормальную подгруппу . Предположим противное. Тогда содержит, по крайней мере, две минимальные нормальные подгруппы и . Так как , то в группе найдутся максимальные подгруппы и такие, что , . Так как и принадлежат , , , то , . Так как --- формация, то . Получили противоречие. Итак, , где --- единственная минимальная нормальная -подгруппа группы .

Покажем, что

--- примарная -группа, где . Предположим, что существуют простые числа , где . Тогда в найдутся максимальные подгруппы и такие, что --- -число, --- -число. Рассмотрим подгруппы и . Очевидно, что индексы и взаимно просты. Так как и , то . Согласно лемме 3.1.4, подгруппы и -субнормальны в . Так как --- минимальная не -группа, и --- собственные подгруппы группы , то и . Так как , то согласно условию, . Получили противоречие.

Покажем, что

--- -группа, где . Предположим, что . Так как , то согласно лемме 3.1.4, --- -субнормальная подгуппа группы . Рассмотрим подгруппу . Так как --- собственная подгруппа и , то . Согласно лемме 3.1.4, --- -субнормальная подгруппа . Очевидно, что --- -субнормальная подгруппа . По лемме 3.1.4, --- -субнормальная подгруппа группы . Так как , то из и условия теоремы следует, что . Получили противоречие. Итак, --- -группа. Тогда --- бипримарная -замкнутая группа, где .