Смекни!
smekni.com

Классы конечных групп F, замкнутые о взаимно простых индексов относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп (стр. 9 из 11)

Следующая теорема доказана в классе конечных разрешимых групп.

2.2 Теорема [18-A]. Пусть

--- наследственная 2-кратно насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) формация

содержит любую группу
, где
и
---
-субнормальные
-подгруппы из
взаимно простых индексов;

2)

--- формация Шеметкова;

3) формация

содержит любую группу
, где
и
---
-субнормальные
-подгруппы из
;

4)

.

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).

Пусть

--- произвольная минимальная не
-группа. Рассмотрим случай, когда
. Как и в теореме 4.2.1 можно показать, что либо
--- группа простого порядка
, где
, либо
, где
и
из
. А также нетрудно показать, что
--- единственная минимальная нормальная подгруппа группы
. А это значит, что
. Пусть
--- максимальный внутренний локальный экран формации
. Если
, то из полноты экрана
следует, что
. Так как
--- внутренний экран, то
. А это значит, что
. Противоречие. Итак,
.

Покажем, что

. Предположим, что это не так. Тогда в
найдется неединичная собственная подгруппа
. Рассмотрим подгруппу
. Так как
--- минимальная не
-группа и
--- собственная подгруппа
, то
. Покажем, что
. Если это не так, то в
существует неединичная нормальная
-подгруппа
. Тогда
. Так как
, то
, что невозможно. Согласно лемме 2.2.12,
. Отсюда
. Так как
, то
. А это значит, что
. Так как
--- насыщенная формация, то
. Следовательно,
, что невозможно. Итак,
, значит,
--- группа Шмидта. Итак,
--- группа Шмидта. По лемме 3.1.1,
--- группа Шмидта.

Тот факт, что из 2)

3) следует из теоремы 2.2.19; 3)
4) следует из теоремы 2.2.10; 4)
1) следует из теоремы 2.2.10. Теорема доказана.

Очевидно, что любая сверхрадикальная формация

содержит любую группу
, где
и
-субнормальны в
и принадлежат
и имеют взаимно простые индексы в
.

Следующий пример показывает, что существует несверхрадикальная наследственная насыщенная формация

, содержащая любую группу
, где
и
-субнормальны в
и принадлежат
и имеют взаимно простые индексы в
.

2.3 Пример. Пусть

--- формация всех сверхразрешимых групп, а
--- формация всех
-групп, где
,
и
--- различные простые числа. Рассмотрим формацию
. Так как существуют минимальные не
-группы, которые не являются либо группой Шмидта, либо группой простого порядка, то
не является формацией Шеметкова. Так как
, то согласно теореме 3.3.9, формация
не является сверхрадикальной формацией.