Клеточные пространства (стр. 2 из 8)

Рис.2

Рис.3

Другое каноническое клеточное разбиение сферы

состоит из 2n +2 клеток : клетка состоит из точек , у которых и (рис.2б). Заботиться о характеристических отображениях здесь не приходится: замыкание каждой клетки очевидным образом гомеоморфно шару соответствующей размерности.

Заметим, что оба описанные клеточные разбиения сферы

получаются из единственного возможного разбиения сферы (двоеточия) посредством применения канонической конструкции клеточного разбиения надстройки: в первом случае нужно брать надстройку над сферой как над пространством с отмеченной точкой, а во втором случае - обыкновенную надстройку.

Существует, конечно, масса других клеточных разбиений сферы

: ее можно разбить на 3ⁿ⁺¹ - 1 клеток как границу (n+1) - мерного куба, на клеток - как границу (n+1) - мерного симплекса и т.п. .

Все описанные клеточные разбиения, кроме самого первого, годятся для сферы

.

Клеточное разбиение шара

можно получить из любого клеточного разбиения сферы путем присоединения одной клетки Int с характеристическим отображением id: . Наиболее экономное клеточное разбиение шара состоит, таким образом, из трех клеток. Правда, ни одно из этих разбиений не годится для шара .

2.2 Проективные пространства

При отождествлении диаметрально противоположных точек сферы

клетки - клеточного разбиения склеиваются между собой и получается (n+1) - клеточное разбиение пространства R , по одной клетке в каждой размерности q≤n. Это же разбиение можно описать так:

R │ .

Еще одно описание этого разбиения: имеется цепочка включений

R R R R ,

и мы полагаем e^q = R

- R . Характеристическим отображением для e^q служит композиция канонической проекции D^q R и включения R R . При n= наша конструкция доставляет клеточное разбиение пространства R , содержащее по одной клетке каждой размерности. Конструкция имеет также комплексный, кватернионный и кэлиев аналоги. Она дает: разбиение пространства С на клетки размерностей 0, 2, 4,..., 2n; разбиение пространства H на клетки размерностей 0, 4, 8,..., 4n; разбиение пространства СаР² на клетки размерностей 0,8,16; клеточные разбиения пространств С и H , содержащие по одной клетке в каждой размерности, делящейся, соответственно, на 2 и 4. Например, пространство С разбивается на клетки

С │

с характеристическими отображениями

C С .

2.3 Многообразия Грассмана

Описываемое ниже клеточное разбиение многообразий Грассмана очень важно для геометрии и топологии (особенно для теории характеристических классов). Составляющие его клетки называются клетками Шуберта, а само оно называется шубертовским.

Пусть

- произвольная конечная (возможно, пустая) невозрастающая последовательность целых положительных чисел, не превосходящих k, причем s ≤ n - k. Обозначим через e ( ) подмножество пространства G (n,k), составленное из подпространств пространства R , удовлетворяющих следующим условиям (мы полагаем =0):

R при m ≤ k - m ;

codim

( R ) =о при ;

R при m ≤ k + s + 1

(мы считаем, что R^a

R при a < b: ). Приведем другое, более простое описание множества e ( ). Напомним, что диаграмма Юнга набора - это фигура, которая рисуется на клетчатой бумаге, как показано на рис.4а (столбцы имеют длины ).

Число клеток диаграммы Юнга равно

. Можно считать, что клетки пространства G (n,k) отвечают диаграммам Юнга, вмещающимся в прямоугольник k (n - k) (рис.4а). Рассмотрим диаграмму Юнга набора и расположим ее, как показано на рис.4б. Толстая линия на этом рисунке представляет собой график некоторой неубывающей функции , и множество e ( ) задается условием dim ( R ) = (m). Ввиду наличия такого простого описания, множество e ( ) обозначают иногда через е ( ), где - обозначение для диаграммы Юнга набора ( ). Еще раз заметим, что размерность клетки е ( ) равна числу клеток диаграммы .