внутренности многоугольника, одномерные клетки - из его (открытых) ребер, нульмерные клетки - из его вершин. Каноническое клеточное разбиение каждой классической поверхности имеет одну двумерную и одну нульмерную клетку. Кроме того, сфера с g ручками имеет 2g одномерных клеток (см. рис.5), проективная плоскость с g ручками имеет 2g +1одномерную клетку и бутылка Клейна с g ручками имеет 2g +2 одномерных клеток.
Рис.5
Определение. Пара (X, А) называется парой Борсука (или корасслоением), если для любого пространства Y и любого непрерывного отображения F: Х
Y всякая гомотопия ft: А Y, такая, что f = F│ А, может быть продолжена до гомотопий Ft: Х Y, у которой F0 = F.Теорема Борсука. Если X - клеточное пространство и А - его клеточное подпространство, то (X, А) - пара Борсука.
Доказательство. Нам даны отображения Ф: А
I Y (гомотопия ft) и F: X 0 Y, причем F │ = Ф│ . Продолжить гомотопию ft до гомотопий Ft - это значит продолжить отображение F до отображения F’: X I Y, такого, что F’ │ = Ф. (Продолжение мы произведем индуктивно по размерности клеток пространства X, не входящих в А. Начальным шагом индукции служит продолжение отображения Ф на (A X ) I:F’ (x, t) ={
Допустим теперь, что отображение F' уже определено на (A
X ) I. Возьмем произвольную (n+ 1) - мерную клетку e Х - A. По предположению, F' задано на множестве ( ) I, так как граница = клетки содержится в X по определению клеточного пространства. Пусть f: D X - характеристическое отображение, соответствующее клетке . Нам надо продолжить F' на внутренность "цилиндра" f (D ) I с его "стенки" f (S ) I и "дна" f (D ) 0. Но из определения клеточного пространства ясно, что это все равно, что продолжить отображение F’ f: (S I) (D 0) Y до непрерывного отображения ': D I Y.Пусть
: D I (S I) (D 0) - проектирование цилиндра D I из точки, лежащей вне цилиндра вблизи верхнего основания D I (см. Рис.6); это отображение тождественно на (S I) (D 0). Отображение ' мы определяем как композициюD
I (S I) (D 0) Y.Эту процедуру можно проделать независимо для всех (n + 1) - мерных клеток пространства X, и мы получаем продолжение отображения F' на (A
X ) I.Рис.6
Так, остов за остовом, мы строим желаемое продолжение отображения Ф до отображения F: X
I Y. Подчеркнем, что если пространство X бесконечномерно, то наше индуктивное построение будет состоять из бесконечного числа шагов; в этом случае непрерывность окончательного отображения будет следовать из аксиомы (W). Теорема доказана.Следствие 1. Пусть X - клеточное пространство и А - его клеточное подпространство. Если А стягиваемо по себе в точку, то X/А ~ X.
Доказательство. Обозначим через
проектирование X Х/А. Так как А стягиваемо, то существует гомотопия ft: А А, такая, что отображение f0: А А тождественно и f (A) есть точка. В силу теоремы Борсука, существует гомотопия Ft: Х Х, такая, что F0 = id и Ft│A =ft. B частности F (A) =* (точка). Это означает, что можно рассматривать как отображение, заданное на Х/А, точнее, что F =q p, где q: Х/А X - некоторое непрерывное отображение. По построению, F ~F0, т.е. q p ~ id .