Смекни!
smekni.com

Клеточные пространства (стр. 4 из 8)

внутренности многоугольника, одномерные клетки - из его (открытых) ребер, нульмерные клетки - из его вершин. Каноническое клеточное разбиение каждой классической поверхности имеет одну двумерную и одну нульмерную клетку. Кроме того, сфера с g ручками имеет 2g одномерных клеток (см. рис.5), проективная плоскость с g ручками имеет 2g +1одномерную клетку и бутылка Клейна с g ручками имеет 2g +2 одномерных клеток.

Рис.5

3. Гомотопические свойства клеточных пространств

3.1 Теорема Борсука о продолжении гомотопий

Определение. Пара (X, А) называется парой Борсука (или корасслоением), если для любого пространства Y и любого непрерывного отображения F: Х

Y всякая гомотопия ft: А
Y, такая, что f
= F│ А, может быть продолжена до гомотопий Ft: Х
Y, у которой F0 = F.

Теорема Борсука. Если X - клеточное пространство и А - его клеточное подпространство, то (X, А) - пара Борсука.

Доказательство. Нам даны отображения Ф: А

I
Y (гомотопия ft) и F: X
0
Y, причем F │
= Ф│
. Продолжить гомотопию ft до гомотопий Ft - это значит продолжить отображение F до отображения F’: X
I
Y, такого, что F’ │
= Ф. (Продолжение мы произведем индуктивно по размерности клеток пространства X, не входящих в А. Начальным шагом индукции служит продолжение отображения Ф на (A
X
)
I:

F’ (x, t) ={

Допустим теперь, что отображение F' уже определено на (A

X
)
I. Возьмем произвольную (n+ 1) - мерную клетку e
Х - A. По предположению, F' задано на множестве (
)
I, так как граница
=
клетки
содержится в X
по определению клеточного пространства. Пусть f: D
X - характеристическое отображение, соответствующее клетке
. Нам надо продолжить F' на внутренность "цилиндра" f (D
)
I с его "стенки" f (S
)
I и "дна" f (D
)
0. Но из определения клеточного пространства ясно, что это все равно, что продолжить отображение
F’
f: (S
I)
(D
0)
Y до непрерывного отображения
': D
I
Y.

Пусть

: D
I
(S
I)
(D
0) - проектирование цилиндра D
I из точки, лежащей вне цилиндра вблизи верхнего основания D
I (см. Рис.6); это отображение тождественно на (S
I)
(D
0). Отображение
' мы определяем как композицию

D

I
(S
I)
(D
0)
Y.

Эту процедуру можно проделать независимо для всех (n + 1) - мерных клеток пространства X, и мы получаем продолжение отображения F' на (A

X
)
I.

Рис.6

Так, остов за остовом, мы строим желаемое продолжение отображения Ф до отображения F: X

I
Y. Подчеркнем, что если пространство X бесконечномерно, то наше индуктивное построение будет состоять из бесконечного числа шагов; в этом случае непрерывность окончательного отображения будет следовать из аксиомы (W). Теорема доказана.

3.2 Следствия из теоремы Борсука

Следствие 1. Пусть X - клеточное пространство и А - его клеточное подпространство. Если А стягиваемо по себе в точку, то X/А ~ X.

Доказательство. Обозначим через

проектирование X
Х/А. Так как А стягиваемо, то существует гомотопия ft: А
А, такая, что отображение f0: А
А тождественно и f
(A) есть точка. В силу теоремы Борсука, существует гомотопия Ft: Х
Х, такая, что F0 = id
и FtA =ft. B частности F
(A) =* (точка). Это означает, что можно рассматривать как отображение, заданное на Х/А, точнее, что F
=q
p, где q: Х/А
X - некоторое непрерывное отображение. По построению, F
~F0, т.е. q
p ~ id
.