Смекни!
smekni.com

Клеточные пространства (стр. 5 из 8)

Далее, Ft (А)

А (при любом t), т.е. р
Ft (А) = *. Следовательно, р
Ft = = qt
р, где qt: Х/А
Х/А - некоторая гомотопия. При этом q
= id
иq
= р
q; следовательно, р
q ~ id
.

Следствие доказано.

Следствие 2. Если X - клеточное пространство и А - его клеточное подпространство, то Х/А ~ X

СА, где СА - конус над А.

Доказательство. Х/А = (X

СА) /СА ~Х
СА; последнее вытекает из предыдущего следствия, примененного к клеточному пространству X
СА и его стягиваемому клеточному подпространству СА.

Замечание. Оба доказанных предложения можно рассматривать не как следствия из теоремы Борсука, а как самостоятельные теоремы, только предположения о клеточности X и А нужно тогда заменить в первом случае предположением, что (X, А) - пара Борсука, а во втором случае - предположением, что (X

СА, СА) - пара Борсука.

3.3 Теорема о клеточной аппроксимации

Теорема. Всякое непрерывное отображение одного клеточного пространства в другое гомотопно клеточному отображению.

Мы будем доказывать следующее, более сильное утверждение ("относительный вариант" нашей теоремы).

Теорема. Пусть f - непрерывное отображение клеточного пространства X в клеточное пространство Y, причем на клеточном подпространстве А пространства X отображение f клеточно. Тогда существует такое клеточное отображение g: X

Y, что g│A =f│A и, более того, f~grelA.

Поясним запись f~grelA (читается: f гомотопно g относительно А), которой мы будем пользоваться и дальше. Она применяется в ситуации, когда непрерывные отображения f, g: X

Y совпадают на подпространстве А пространства X и означает, что существует гомотопия h
: Х
Y, соединяющая f с g и неподвижная на А, т.е. такая, что ht (а) не зависит от t при а
А. Конечно, из f~ grelА следует, что f ~ g, но не наоборот. Пример: f,g: I
S
, f - "наворачивание" отрезка на окружность, g - отображение в точку; эти отображения гомотопны, но не гомотопны rel (0
1).

Доказательство теоремы. Предположим, что отображение f уже сделано клеточным не только на всех клетках из А, но и на всех клетках из X, имеющих размерность < р. Возьмем р-мерную клетку ер

X - А. Ее образ f (ep) пересекается лишь с конечным числом клеток пространства Y (это следует из компактности f (
p)). Выберем среди этих клеток пространства Y клетку наибольшей размерности, скажем,
, dim
= q. Если q≤ р, то нам с клеткой ер делать нечего. В случае же q >р нам потребуется следующая лемма.

Лемма о свободной точке. Пусть U - открытое подмножество пространства Rp и

: U
IntDq - такое непрерывное отображение, что множество V =
(dq)
U, где dq - некоторый замкнутый шарик в IntD
, компактно. Если q> р, то существует непрерывное отображение
: U
IntDq, совпадающее с
вне

V и такое, что его образ не покрывает всего шара dq.

Доказательство этой леммы (и обсуждение ее геометрического значения) мы отложим до следующего пункта; ограничимся лишь важным замечанием, что отображение

автоматически будет гомотопным
относительно U - V: достаточно взять связывающую
с
"прямолинейную" гомотопию, при которой точка
(u) равномерно движется к
(u) точке по прямолинейному отрезку, соединяющему
(u) с
(u).

Завершим доказательство теоремы. Из леммы о свободной точке вытекает, что сужение f│

гомотопно rel (A
X
) отображению f’: A
X
е р
Y, такому, что f’ (ep) задевает те же клетки, что и f (eр), но заведомо f’ (ep) не содержит всю клетку
. В самом деле, пусть h: Dp
Х, k: Dp
Y - характеристические отображения, соответствующие клеткам ер,
. Положим U=
h (f
(
)
ер) и определим отображение
: U
IntDq как композицию:

u

x
y
=
(u)