Далее, Ft (А)

А (при любом t), т.е. р

F
t (А) = *. Следовательно, р

F
t = = q
t 
р, где q
t: Х/А

Х/А - некоторая гомотопия. При этом q

= id

иq

= р

q; следовательно, р

q ~ id

.
Следствие доказано.
Следствие 2. Если X - клеточное пространство и А - его клеточное подпространство, то Х/А ~ X

СА, где СА - конус над А.
Доказательство. Х/А = (X

СА) /СА ~Х

СА; последнее вытекает из предыдущего следствия, примененного к клеточному пространству X

СА и его стягиваемому клеточному подпространству СА.
Замечание. Оба доказанных предложения можно рассматривать не как следствия из теоремы Борсука, а как самостоятельные теоремы, только предположения о клеточности X и А нужно тогда заменить в первом случае предположением, что (X, А) - пара Борсука, а во втором случае - предположением, что (X

СА, СА) - пара Борсука.
Теорема. Всякое непрерывное отображение одного клеточного пространства в другое гомотопно клеточному отображению.
Мы будем доказывать следующее, более сильное утверждение ("относительный вариант" нашей теоремы).
Теорема. Пусть f - непрерывное отображение клеточного пространства X в клеточное пространство Y, причем на клеточном подпространстве А пространства X отображение f клеточно. Тогда существует такое клеточное отображение g: X

Y, что g│
A =f│
A и, более того, f~grelA.
Поясним запись f~grelA (читается: f гомотопно g относительно А), которой мы будем пользоваться и дальше. Она применяется в ситуации, когда непрерывные отображения f, g: X

Y совпадают на подпространстве А пространства X и означает, что существует гомотопия h

: Х

Y, соединяющая f с g и неподвижная на А, т.е. такая, что h
t (а) не зависит от t при а

А. Конечно, из f~ grelА следует, что f ~ g, но не наоборот. Пример: f,g: I

S

, f - "наворачивание" отрезка на окружность, g - отображение в точку; эти отображения гомотопны, но не гомотопны rel (0

1).
Доказательство теоремы. Предположим, что отображение f уже сделано клеточным не только на всех клетках из А, но и на всех клетках из X, имеющих размерность < р. Возьмем р-мерную клетку ер

X - А. Ее образ f (e
p) пересекается лишь с конечным числом клеток пространства Y (это следует из компактности f (
p)). Выберем среди этих клеток пространства Y клетку наибольшей размерности, скажем,

, dim

= q. Если q≤ р, то нам с клеткой е
р делать нечего. В случае же q >р нам потребуется следующая лемма.
Лемма о свободной точке. Пусть U - открытое подмножество пространства Rp и

: U

IntD
q - такое непрерывное отображение, что множество V =

(d
q)

U, где d
q - некоторый замкнутый шарик в IntD

, компактно. Если q> р, то существует непрерывное отображение

: U

IntD
q, совпадающее с

вне
V и такое, что его образ не покрывает всего шара dq.
Доказательство этой леммы (и обсуждение ее геометрического значения) мы отложим до следующего пункта; ограничимся лишь важным замечанием, что отображение

автоматически будет гомотопным

относительно U - V: достаточно взять связывающую

с

"прямолинейную" гомотопию, при которой точка

(u) равномерно движется к

(u) точке по прямолинейному отрезку, соединяющему

(u) с

(u).
Завершим доказательство теоремы. Из леммы о свободной точке вытекает, что сужение f│

гомотопно rel (A

X

) отображению f’: A

X

е
р 
Y, такому, что f’ (e
p) задевает те же клетки, что и f (e
р), но заведомо f’ (e
p) не содержит всю клетку

. В самом деле, пусть h: D
p 
Х, k: D
p 
Y - характеристические отображения, соответствующие клеткам е
р,

. Положим U=

h (f

(

)

е
р) и определим отображение

: U

IntD
q как композицию:
u

x

y

=

(u)